`a)`
Xét `ΔABH` và `ΔCBA` có:
         `hat{B}:chung`
  `hat{AHB}=hat{CAB}=90^o`
`⇒ΔABH`$\backsim$`ΔCBA(g.g)`
`⇒hat{A_1}=hat{C}(2` góc tương ứng `)`
Xét `ΔABH` và `ΔCAH` có:
 `hat{A_1}=hat{C}(cmt)`
 `hat{AHB}=hat{CHA}=90^o`
`⇒ΔABH`$\backsim$`ΔCAH(g.g)`
`⇒(AH)/(CH)=(BH)/(AH)`
`⇒AH^2=CH.BH`
`⇒AH^2=9.4`
`⇒AH^2=36`
`⇒AH=6(cm)`
Xét tứ giác `ADHE` có:
`hat{A}=hat{ADH}=hat{AEH}=90^o`
`⇒`Tứ giác `ADHE` là hình chữ nhật(tứ giác có `3` góc vuông là hình chữ nhật)
`⇒AH=DE(` t/c hình chữ nhật `)`
Mà:`AH=6(cm)`
`⇒DE=6(cm)`
`b)`

Gọi `F` là giao  điểm của `AH` và `DE`

Nối `MF` và `NF`

Xét `2Δ` vuông `DFM` và `HFM` có:

           `FM:chung`

 `DF=HF`(t/c hình chữ nhật)

`⇒ΔDFM=ΔHFM`(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

`⇒DM=HM(2` cạnh tương ứng `)(1)`

`⇒ΔDMH` cân tại `M`

`⇒hat{MDH}=hat{MHD}`

Ta có:

`hat{MBD}=90^o-hat{MHD}`

`hat{MDB}=90^o-hat{MDH}`

Mà:`hat{MDH}=hat{MHD}(cmt)`

`⇒hat{MBD}=hat{MDB}`

`⇒ΔMBD` cân tại `M`

`⇒MB=MD(2)`

Từ `(1)` và `(2):`

`⇒HM=MB(=1/2 BH)`

Xét `2Δ` vuông `HFN` và `EFN` có:

             `FN:chung`

 `HF=EF`(t/c hình chữ nhật)

`⇒ΔHFN=ΔEFN(`cạnh huyền-cạnh góc vuông`)`

`⇒HN=EN(2` cạnh tương ứng `)(3)`

`⇒ΔHNE` cân tại `N`

`⇒hat{NHE}=hat{NEH}`

Ta có:

`hat{NEC}=90^o-hat{NEH}`

`hat{NCE}=90^o-hat{NHE}`

Mà:`hat{NHE}=hat{NEH}(cmt)`

`⇒hat{NEC}=hat{NCE}`

`⇒ΔENC` cân tại `N`

`⇒EN=CN(4)`

Từ `(3)` và `(4):`

`⇒HN=CN(=1/2 HC)`

Ta có:

`MN=MH+HN=1/2 BH+1/2 HC=1/2(BH+HC)=1/2 BC(đpcm)`

`c)`

Ta có:

`HF=AF=(AH)/2=6/2=3(cm)`

`MN=1/2 BC=1/2 . (BH+HC)=1/2 . (4+9)=1/2 . 13=13/2(cm)`

Diện tích tứ giác `DENM:`

`S_{DENM}=2S_{MHF}+2S_{HFN}`

`S_{DENM}=2(S_{MHF}+S_{HFN})`

`S_{DENM}=2(1/2 .HF. HM+1/2 . HF . HN)`

`S_{DENM}=2. 1/2 HF.(HM+HN)`

`S_{DENM}=HF.MN`

`S_{DENM}=3 . 13/2`

`S_{DENM}=19,5(cm^2)`

Vậy `S_{DENM}=19,5cm^2`