Đáp án:

$\\$

`a,`

Do `ΔABC` vuông tại `A` (gt)

`-> hat{ACB} + hat{ABC}=90^o` (2 góc phụ nhau)

`-> hat{ACB}=90^o - hat{ABC}`

`-> hat{ACB}=90^o-40^o`

`-> hat{ACB}=50^o`

Xét `ΔABC` có :

`hat{BAC}=90^o, hat{ABC}=40^o,hat{ACB}=50^o`

`-> hat{ABC} < hat{ACB} < hat{BAC}` (Vì `40^o < 50^o < 90^o`)

Áp dụng quan hệ góc và cạnh đối diện có :

`AC < AB < BC`

$\\$

`b,`

Xét ΔADE` và `ΔBDE` có :

`hat{ADE}=hat{BDE}=90^o`

`AD=BD` (Do `D` là trung điểm của `AB`)

`hat{ADE}=hat{BDE}=90^o` (gt)

`-> ΔADE= ΔBDE` (cạnh - góc - cạnh)

$\\$

`c,`

Do `ΔADE=ΔBDE` (cmt)

`-> hat{EAD}=hat{ABC}` (2 góc tương ứng)

mà `hat{ABC}=40^o` (gt)

`-> hat{EAD}=40^o`

Do `ΔABC` vuông tại `A` (gt)

`-> hat{EAD} + hat{EAC}=90^o` (2 góc phụ nhau)

`-> hat{EAC}=90^o - hat{EAD}`

`-> hat{EAC}=90^o-40^o`

`-> hat{EAC}=50^o`

Có : `hat{ACE}=50^o,hat{EAC}=50^o`

`-> hat{ACE}=hat{EAC}=50^o`

`-> ΔAEC` cân tại `E`

$\\$

`d,`

Do `ΔAEC` cân tại `E` (cmt)

`-> CE=AE`

Do `ΔADE=ΔBDE` (cmt)

`-> AE=BE` (2 cạnh tương ứng)

mà `CE=AE` (cmt)

`-> BE=CE (=AE)`

`-> E` là trung điểm của `BC`

`-> AE` là đường trung tuyến của `ΔABC`

Có : `D` là trung điểm của `AB` (gt)

`-> CD` là đường trung tuyến của `ΔABC`

Xét `ΔABC` có :

`AE` là đường trung tuyến (cmt)

`CD` là đường trung tuyến (cmt)

`AE` cắt `CD` tại `G` (gt)

`-> G` là trọng tâm của `ΔABC` 

`-> (CG)/(GD) = 2/1 = 2`

`-> CG = 2GD`

$\\$

`e,`

Kéo dài `BG` cắt `AC` tại `H (H ∈AC`)

Do `G` là trọng tâm của `ΔABC` (cmt)

`BG` cắt `AC` tại `H`

`-> BH` là đường trung tuyến

`-> H` là trung điểm của `AC`

`-> AH = 1/2 AC`

mà `AM=1/2 AC` (gt)

`-> AH=AM (=1/2 AC)`

Xét `ΔAMB` và `ΔAHB` có :

`AH=AM` (cmt)

`AB` chung

`hat{HAB}=hat{MAB}=90^o` (gt)

`-> ΔAMB = ΔAHB` (cạnh - góc - cạnh)

`-> hat{ABM}=hat{ABH}` (2 góc tương ứng)

hay `BA` là tia phân giác của `hat{MBG}`

Đáp án+Giải thích các bước giải:

`a) ΔABC` vuông tại `A` có: `\hat{ABC}=40^o`

          `=> \hat{ACB}=90^o-40^o=50^o`

`ΔABC` có `\hat{BAC} > \hat{ACB} > \hat{B}(` vì `90^o > 50^o > 40^o)`

           `=> BC > AB > AC`

`b)` Xét `ΔBDE` và `ΔADE` có:

                `BD=DA`

       `\hat{BDE}=\hat{ADE}(=90^o)`

               `DE` chung

          `=> ΔBDE=ΔADE(c.g.c) (1)`

`c)` Từ `(1) => \hat{EBD}=\hat{EAD}(2` góc tường ứng)

              mà `\hat{EBD}=40^o`

                 `=> \hat{EAD}=40^o`

              mà `\hat{EAD}+\hat{EAC}=90^o`

                  `=> \hat{EAC}=90^o-40^o=50^o`

                   mà `\hat{ECA}=50^o`

                     `=> \hat{EAC}=\hat{ECA}`

                    `=> ΔAEC` cân tại `E`

`d) ΔABC` vuông tại `A` có `AE=BE=CE`

            `=> AE` là đường trung tuyến ứng với cạnh `BC`

    `ΔABC` có: `AE` là đường trung tuyến của ứng với cạnh `BC`

                      `CD` là đường trung tuyến của ứng với cạnh `AB`

            mà `AE` cắt `CD` tại `G`

                 `=> G` là trọng tâm của `ΔABC`

                 `=> DG=1/2CG`

               `=> CG = 2DG`

`e)` Gọi giao điểm của `BG` và `AC` là `I`

Vì `G` là trọng tâm của `ΔABC`

   mà `G∈BI`

      `=> BI` là đường trung tuyến ứng với cạnh `AC`

        `=> AI=1/2AC`

        mà `AM=1/2 AC`

         `=> AI = AM`

 Xét `ΔBMA` và `ΔBIA` có:

         `AM =AI`

   `\hat{MAB}=\hat{IAB}(=90^o)`

         `BA` chung

     `=> ΔBMA=ΔBIA(c.g.c)`

      `=> \hat{MBA}=\hat{IBA}(2` góc tương ứng)

       `=> BA` là tia phân giác của `\hat{MBG}`