`a)`

Vì `ΔABC` cân tại `A`

`⇒AB=AC(` tính chất `Δ` cân `)`

   `hat{ABC}=hat{ACB}(` tính chất `Δ` cân `)`

Ta có:`hat{ABC}=hat{B_1}+hat{B_2}`

          `hat{ACB}=hat{C_1}+hat{C_2}`

Mà `hat{ABC}=hat{ACB}(cmt)`

      `hat{B_1}=hat{B_2}(g``t)`

      `hat{C_1}=hat{C_2}(g``t)`

`⇒hat{B_1}=hat{B_2}=hat{C_1}=hat{C_2}`

Xét `ΔANC` và `ΔAMB` có:

        `hat{A}:chung`

      `AC=AB(cmt)`

      `hat{C_1}=hat{B_1}(cmt)`

`⇒ΔANC=ΔAMB(g.c.g)`

`⇒AN=AM(2` cạnh tương ứng `)`

`⇒ΔANM` cân tại `A`

`⇒hat{ANM}=(180^o-hat{A})/2(1)`

Vì `ΔABC` cân tại `A`

`⇒hat{ABC}=(180^o-hat{A})/2(2)`

Từ `(1)` và `(2)⇒hat{ANM}=hat{ABC}`

Mà `2` góc này nằm ở vị trí đồng vị 

`⇒NM``/``/``BC`

Xét tứ giác `BNMC` có:

     `NM``/``/``BC(cmt)`

`⇒` tứ giác `BNMC` là hình thang `(` dấu hiệu nhận biết hình thang `)(đpcm)`

`b)`

Vì `NM``/``/``BC(cmt)`

`⇒hat{M_1}=hat{B_2}(2` góc so le trong `)`

Mà `hat{B_1}=hat{B_2}(g``t)`

`⇒hat{M_1}=hat{B_1}`

`⇒ΔBNM` cân tại `N`

`⇒BN=NM(` tính chất `Δ` cân `)(3)`

Ta có:`AB=AN+BN`

         `AC=AM+MC`

Mà `AB=AC(cmt)`

      `AN=AM(cmt)`

`⇒BN=MC(4)`

Từ `(3)` và `(4)⇒BN=NM=MC(đpcm)`

`c)`

Vì `BM` là tia phân giác của `hat{B}`

`⇒hat{B_1}=hat{B}/2=(40^o)/2=20^o`

Mà `hat{C_1}=hat{B_1}(cmt)`

`⇒hat{C_1}=20^o`

Vì `ΔBNM` cân tại `N`

`⇒hat{BNM}=180^o-2hat{B_1}=180^o-2.20^o=140^o`

Vì `NM=MC(cmt)`

`⇒ΔCMN` cân tại `M`

`⇒hat{CMN}=180^o-2hat{C_1}=180^o-2.20^o=140^o`

Vậy `hat{BNM}=hat{CMN}=140^o`