Đáp án:

$\\$

`a,`

Có : $\begin{cases} \widehat{ABC}+\widehat{ABM}=180^o\\  \widehat{ACB}+\widehat{ACN}=180^o\end{cases}$ (2 góc kề bù)

mà `hat{ABC}=hat{ACB}` (Do `ΔABC` cân tại `A`)

`-> hat{ABM} =hat{ACN}`

Xét `ΔABM` và `ΔACN` có :

`AB=AC` (Do `ΔABC` cân tại `A`)

`BM=CN` (gt)

`hat{ABM}=hat{ACN}` (cmt)

`-> ΔABM = ΔACN` (cạnh - góc - cạnh)

$\\$

`b,`

Do `ΔABM = ΔACN` (cmt)

`-> AM=AN` (2 cạnh tương ứng)

`-> ΔAMN` cân tại `A`

$\\$

`c,`

Từ `A` kẻ `AH⊥BC (H ∈ BC)`

Xét `ΔAHB` vuông tại `H (AH⊥B C`) có :

`hat{BAH} + hat{ABH}=90^o` (2 góc phụ nhau)

`-> hat{ABH} < 90^o`

Có : `hat{ABH} + hat{ABM}=180^o` (2 góc kề bù)

mà `hat{ABH} < 90^o` (cmt)

`-> hat{ABM} > 90^o`

`-> hat{ABM}` là góc tù

Xét `ΔABM` có :

`hat{ABM}` là góc tù

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

`AM` là cạnh lớn nhất

`-> AM > AB`

mà `AB=AC` (Do `ΔABC` cân tại `A`)

`->  AM > AC`

$\\$

`d,`

Có : `MA=MI` (gt)

`-> M` là trung điểm của `AI`

`-> NM` là đường trung tuyến của `ΔAIN`

Có : $\begin{cases} BM + BC = MC\\ CN + BC = NC\end{cases}$

mà `BM = CN` (gt)

`-> MC = NC`

Có : `BM = BC` (gt)

`-> B` là trung điểm của `MC`

`-> BM = 1/2 MC`

mà `MC = NC` (cmt)

`-> BM = 1/2 NC`

`-> (BM)/(NC) =1/2`

Xét `ΔANI` có :

`NM` là đường trung tuyến (cmt)

`(BM)/(NC) = 1/2` (cmt)

`-> B` là trọng tâm của `ΔANI`

`-> AB` là đường trung tuyến của `ΔANI`

`-> AB` đi qua trung điểm của `NI`