Đáp án:

$\\$

Qua $A$ kẻ $AH//BM (H∈BC)$

`-> hat{ABM}=hat{HAB}` (2 góc so le trong)

Có : $\begin{cases} BM⊥xy\\AH//BM \end{cases}$ (gt, cách dựng)

$→ AH⊥xy$

Có : `hat{HAB} + hat{HAC}=90^o` (Do `ΔABC` vuông tại `A`)

Có : `hat{CAN} + hat{HAC}=90^o` (Do `AH⊥xy`)

`-> hat{HAB}=hat{CAN}`

mà `hat{ABM}=hat{HAB}` (cmt)

`-> hat{ABM}=hat{CAN} (= hat{HAB})`

Xét `ΔABM` va `ΔCAN` có :

`hat{AMB}=hat{CNA}=90^o` (Do `BM⊥xy, CN⊥xy`)

`AB=AC` (Do `ΔABC` cân tại `A`)

`hat{ABM}=hat{CAN}` (cmt)

`-> ΔABM = ΔCAN` (cạnh huyền - góc nhọn)

`-> BM= AN` (2 cạnh tương ứng)

`-> BM^2 = AN^2`

Có : `AB=AC` (Do `ΔABC` cân tại `A`)

`-> AB^2 = AC^2`

Áp dụng định lí Pitago cho `ΔCAN` vuông tại `N` có :

`AN^2 + CN^2 = AC^2`

mà `BM^2 = AN^2` (cmt) và `AB^2 =AC^2` (cmt)

`-> BM^2 + CN^2 = AB^2` (đpcm)