Max

 `P = sqrt(a+b) + sqrt(b+c) + sqrt(c+a)`

`=> P^2 = (sqrt(a+b) + sqrt(b+c) + sqrt(c+a))^2`

`≤ 3 . [(a+b) + (b+c) + (c+a)]`

`=> P^2 ≤ 3 . 2 . 2021 = 12126`

`=> P ≤ sqrt12126` Vậy Max P = `12126` .

Dấu `''=''` xảy ra khi : `a = b = c = 2021/3`

Min :

Do `a + b ≤ 2021`

`=> (a+b)^2/(a+b) ≥ (a+b)^2/2021`

`=> (a+b) ≥ (a+b)^2/2021`

`=> sqrt(a+b) ≥ (a+b)/sqrt2021`

Tương tự :

`sqrt(b+c) ≥ (b+c)/sqrt2021`

`sqrt(a+c) ≥ (a+c)/sqrt2021`

`=> P ≥ 1/sqrt2021 . (a +b + b+c + a+c)`

`=> P ≥ 2/sqrt2021 . 2021 = 4042/sqrt2021`

Dấu `''=''` xảy ra khi : `(a ; b ; c) = (0 ; 0 ; 2021)` và các hoán vị của nó.

Max ; 

Áp dụng Bunia -copxki

Xét P²=($\sqrt[]{a+b}$ +$\sqrt[]{b+c}$ +$\sqrt[]{c+a}$ )²≤3(a+b+b+c+c+a)=6.(a+b+c)=6.2021

⇒P≤$\sqrt[]{6.2021}$ 

Min

 Xét P²=($\sqrt[]{a+b}$ +$\sqrt[]{b+c}$ +$\sqrt[]{c+a}$ )²

           = a+b+b+c+c+a+2.$\sqrt[]{a+b}$.$\sqrt[]{b+c}$ +2.$\sqrt[]{b+c}$ .$\sqrt[]{c+a}$+2.$\sqrt[]{c+a}$.$\sqrt[]{a+b}$ 

          =2.2021+2.$\sqrt[]{a+b}$.$\sqrt[]{b+c}$ +2.$\sqrt[]{b+c}$ .$\sqrt[]{c+a}$+2.$\sqrt[] {c+a}$.$\sqrt[]{a+b}$ 

    Xét (a+b).(b+c)=b²+ab+bc+ca

Vì a,b,c≥0 nên ab+bc+ca≥0≥ nên (a+b)(b+c)≥b²

⇒$\sqrt[]{a+b}$.$\sqrt[]{b+c}$≥b

tương tự nhé cộng theo vế ta có

P²≥2.2021+2a+2.b+2.c=4.2021

⇒P≥2.$\sqrt[]{2021}$