Bài III:

a) Ta có: `A(x) = 4x^2 - 2x - 8 + 5x^3 - 7x^2 + 1`

`A(x) = 5x^3 + (4x^2 - 7x^2) - 2x + (1-8)`

`A(x) = 5x^3 - 3x^2 - 2x -7`

`B(x) = -3x^3 + 4x^2 + 9 + x - 2x - 2x^3`

`B(x) = - (3x^3 + 2x^3) + 4x^2 + (x-2x)+9`

`B(x) = - 5x^3 + 4x^2 - x + 9`

b) Ta có:

`A(x) + B(x) = (5x^3 - 3x^2 - 2x -7) + (- 5x^3 + 4x^2 - x + 9)`

⇒ `M(x) = 5x^3 - 3x^2 - 2x -7 - 5x^3 + 4x^2 -x+9`

`M(x) = (5x^3 - 5x^3) + (4x^2 - 3x^2) - (2x+x) + (9-7)`

`M(x) = x^2 - 3x + 2`

`A(x) - B(x) = (5x^3 - 3x^2 - 2x -7) - (- 5x^3 + 4x^2 - x + 9)`

⇒ `N(x) = 5x^3 - 3x^2 - 2x - 7 + 5x^3 - 4x^2 + x - 9`

`N(x) = 10x^3 - 7x^2 - x - 16`

c) Thay `x=2` vào M(x) ta có:

`M(2) = 2^2 - 3.2 + 2`

`M(2) = 4 - 6 + 2`

`M(2) = 0`

                   Vậy `x=2` là nghiệm của `M(x)`

Thay `x=2` vào `N(x)` ta có:

 `N(2) = 10 . 2^3 - 7 . 2^2 -  2 - 16`

`N(2) = 80 - 28 - 18`

`N(2) = 34`

               Vậy `x=2` không là nghiệm của `N(x)

   Vậy `x=2` là nghiệm của `M(x)` nhưng không là nghiệm của `N(x).

d) Ta có: `M(x) = x^2 - 3x + 2 = 0`

⇒ `x^2 - 3x + 2=0`

`x^2 - 2x - x + 2 =0`

`x(x-2) - (x-2) = 0`

`(x-2)(x-1) = 0`

⇒ \(\left[ \begin{array}{l}x-2=0\\x-1=0\end{array} \right.\) 

⇒ \(\left[ \begin{array}{l}x=2\\x=1\end{array} \right.\) 

           Vậy đa thức có 2 nghiệm là `x=2` hoặc `x=1`

Bài IV:

a) Vì `ΔABC` cân tại `A`

⇒ `AB = AC`       (tính chất)

Xét `Δ ABD` và `Δ ACD` có: 

        `AB = AC`       (cmt)

    `hat{BAD} = hat{CAD} `     (gt)

  `AD` là cạnh chung

⇒ `Δ ABD = Δ ACD`      (c.g.c)

b) Vì `ΔABC` cân tại `A`

có `AD` là đường phân giác `ΔABC`

⇒ `AD` cũng là đường trung tuyến của `ΔABC`           (1)

 Mặt khác `G` là trọng tâm của `ΔABC`

⇒ `G ∈ AD`                                       (2)

Từ (1) và (2) ⇒ `A,D,G` thẳng hàng.

c) Vì `ΔABC ` cân tại A

có `AD` là đường phân giác 

⇒ `AD ` cũng là đường cao của `ΔABC`

 Mà `AD` cũng là đường tuyến của `ΔABC`     (cmt)

⇒ `DB = DC`        hay `DB = 1/2 BC = 1/2 . 10 = 5         (cm)`

 Xét `ΔABD` 

Ta có: `AB^2 = AD^2 + BD^2`        (Py - ta - go)

⇒ `AD^2 = AB^2 - BD^2`

⇒ `AD^2 = 13^2 - 5^2`

     `AD^2 = 12^2`

⇒ `AD = 12 (cm)`

  Vì `G` là trọng tâm của `ΔABC`

⇒ `AG = 2/3 AD`        (tính chất)              

⇒ `DG = 1/3 AD = 1/3 . 12 = 4 (cm)`

                 Vậy `DG = 4 cm`