Đáp án:

$\\$

`a,`

Xét `ΔABC` có :

$\begin{cases} AB^2 + AC^2=3^2+4^2=5^2=25\\BC^2=5^2=25 \end{cases}$

`-> AB^2 + AC^2=BC^2 (=25)`

`-> ΔABC` vuông tại `A` (Pitago đảo)

$\\$

`b,`

Xét `ΔABD` và `ΔEBD` có :

`BD` chung

`AB=EB` (gt)

`hat{ABD}=hat{EBD}` (gt)

`-> AD=DE` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

`c,`

Có : `AB=EB` (gt)

`-> B` nằm trên đường trung trực của `AE` `(1)`

Có : `AD=DE` (cmt)

`-> D` nằm trên đường trung trực của `AE` `(2)`

Từ `(1), (2)`

`-> BD` là đường trung trực của `AE`

`-> AE⊥BD`

$\\$

`d,`

Do `ΔABD = ΔEBD` (cmt)

`->hat{BAD}=hat{BED}` (2 góc tương ứng)

mà `hat{BAD}=90^o` (gt)

`-> hat{BED}=90^o`

hay `DE⊥BC`

Có : `AB=EB` (gt)

`-> ΔABE` cân tại `B`

`-> hat{BAE}=(180^o-hat{B})/2` `(3)`

Xét `ΔADF` và `ΔEDC` có :

`hat{ADF}=hat{EDC}` (2 góc đối đỉnh)

`AD=DE` (cmt)

`hat{FAD}=hat{CED}=90^o` (Do `ΔABC` vuông tại `A` và `DE⊥BC`)

`-> ΔADF = ΔEDC` (góc - cạnh - góc)

`-> AF = EC` (2 cạnh tương ứng)

Có : $\begin{cases} AB+AF=BF\\EB+EC=BC \end{cases}$

mà `AB=EB` (gt), `AF=EC` (cmt)

`-> BF=BC`

`-> ΔFBC` cân tại `B`

`-> hat{BFC}=(180^o-hat{B})/2` `(4)`

Từ `(3), (4)`

`-> hat{BAE}=hat{BFC} (=(180^o-hat{B})/2)`

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

$→ AE//FC$

a)

ta có 

`AB^2+AC^2=BC^2`

hay `3^2+4^2=5^2`

vậy `ΔABC` là `Δ` vuông tại `A`

b)

xét `ΔBAD` và `ΔBED`

ta có:`BD` là cạnh chung

`hat(ABD)=hat(EBD)` ( BD là tia phân giác của `hat(B)` )          

`AB=BE` (gt)

`=>ΔBAD=ΔBED` ( c.g.c)

do đó `AD=DE` ( 2 cạnh tương ứng )

c)

gọi `O` là giao điểm của `AE` và `BD`

xét `ΔBAO` và `ΔBOE` có

`BO` là cạnh chung

`hat(ABO)=hat(EBO)` ( BD là tia phân giác của `hat(B)` )

`AB=BE` (gt)

`=>ΔBAO=ΔBEO` ( c.g.c)

`=> hat(BOA)=hat(BOE)` (2 góc tương ứng )

mà `hat(AOE)=180^o`

nên: `hat(BOA)=hat(BOE)=90^o` 

hay `BD⊥AE`

d)

ta có: `hat(BAD)+hat(DAF)=180^o`

          `hat(BED)+hat(DEC)=180^o`

mà `hat(BAD)=hat(BED)`

nên ` hat(DAF)=hat(DEC)`

xét `ΔADF` và `ΔEDC` có

`hat(ADF)=hat(EDC)` ( đối đỉnh )

`AE=DE` ( cm câu b)

` hat(DAF)=hat(DEC)` ( cmt )

`=>ΔADF=ΔEDC` (g.c.g)

do đó `AF=EC`

xét `ΔAEF` và `ΔFEC` có

`AF=EC`

`FE` chung

`=>ΔAEF=ΔFEC` (2 cạnh góc vuông )

do đó `hat(AEF)=hat(EFC)`

mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên `AE`//`FC`