Đáp án:

$\\$

`a,`

Xét `ΔABC` vuông tại `A` có :

`AB^2 + AC^2 =BC^2` (Pitago)

`-> BC^2 = 6^2 + 8^2`

`-> BC^2  = 10^2`

`-> BC=10cm`

$\\$

`b,`

Xét `ΔABK` và `ΔIBK` có :

`hat{BAK}=hat{BIK}=90^o` (gt)

`BK` chung

`hat{ABK}=hat{IBK}` (gt)

`-> ΔABK = ΔIBK` (cạnh huyền  - góc nhọn)

`-> KA=KI` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

`c,`

Do `ΔABK = ΔIBK` (cmt)

`-> AB=IB` (2 cạnh tương ứng)

`-> ΔABI` cân tại `B`

`->hat{BAI}=hat{BIA}`

Có : `hat{DAI} + hat{BIA}=90^o` (Do `AD⊥BC`)

Có : `hat{CAI}+hat{BAI}=90^o` (gt)

mà `hat{BAI}=hat{BIA}` (cmt)

`-> hat{DAI}=hat{CAI}`

`-> AI` là tia phân giác của `hat{DAC}`

$\\$

`d,`

Xét `ΔHDC` vuông tại `D` (Do `AD⊥BC`) có :

`hat{DHC} + hat{DCB}=90^o` (2 góc phụ nhau)

`-> hat{DHC} < 90^o`

Có : `hat{DHC} + hat{AHC}=180^o` (2 góc kề bù)

mà `hat{DHC} < 90^o` (cmt)

`-> hat{AHC} > 90^o`

`-> hat{AHC}` là góc tù

Xét `ΔAHC` có :

`hat{AHC}` tù

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

`AC` là cạnh lớn nhất

`-> HC < AC` `(1)`

Xét `ΔHDB` vuông tại `D` (Do `AD⊥BC`) có :

`hat{DHB} + hat{DBH}=90^o` (2 góc phụ nhau)

`-> hat{DHB} < 90^o`

Có : `hat{DHB} + hat{AHB}=180^o` (2 góc kề bù)

mà `hat{DHB} < 90^o` (cmt)

`-> hat{AHB} > 90^o`

`-> hat{AHB}` là góc tù

Xét `ΔAHB` có :

`hat{AHB}` tù

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

`AB` là cạnh lớn nhất

`-> HB < AB` `(2)`

Lấy `(1) + (2)` vế với vế ta được :

`-> HB + HC < AB + AC`