a) Ta có: `ΔABC` cân tại A (gt)

`=> AB = AC ; hat{ABC} = hat{ACB} = (180^o - hat{BAC})/2` (định lí)

Mà `hat{DBH} = hat{ABC}` (2 góc đối đỉnh)

      `hat{ECK} = hat{ACB}` (2 góc đối đỉnh)

`=> hat{DBH} = hat{ECK}`

Xét `ΔBDH` và `ΔCEK` có:

`hat{BHD} = hat{CKE} = 90^o`

BD = CE (gt)

`hat{DBH} = hat{ECK}` (cmt)

`=> ΔBDH = ΔCEK` (cạnh huyền - góc nhọn)

`=> BH = CK` (2 cạnh tương ứng)   (đpcm)

c) Ta có: `hat{ABC} = hat{ACB}` 

`=> 180^o - hat{ABC} = 180^o - hat{ACB}`

`=> hat{ABH} = hat{ACK}`

Xét `ΔABH` và `ΔACK` có:

AB = AC (cmt)

`hat{ABH} = hat{ACK}` (cmt)

BH = CK (cmt)

`=> ΔABH = ΔACK (c.g.c)`

`=> hat{AHB} = hat{AKC}` (2 cạnh tương ứng)

c) Ta có: AB = AC (cmt) ; BD = CE (gt)

`=> AB + BD = AC + CE`

`=> AD = AE`

`=> ΔADE` cân tại A

`=> hat{ADE} = (180^o - hat{BAC})/2`

`=> hat{ADE} = hat{ABC}`

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

`=>` BC // DE hay HK // DE (đpcm)

d) Ta có: ` ΔABH = ΔACK` (cmt)

`=> AH = AK` (2 cạnh tương ứng)

`hat{BAH} = hat{CAK}` (2 góc tương ứng)

`=> hat{BAH} + hat{DAE} = hat{CAK} + hat{DAE}`

`=> hat{EAH} = hat{DAK}`

Xét `ΔAEH` và `ΔADK` có:

AH = AK (cmt)

`hat{EAH} = hat{DAK}` (cmt)

AD = AE (cmt)

`=> ΔAHE = ΔAKD (c.g.c)`   (đpcm)

e) Gọi F là trung điểm của BC

Ta có: AF là đường trung tuyến của `ΔABC` cân tại A

`=> AF` cũng là tia phân giác của `hat{BAC}`  (1)

      AF cũng là đường cao nên `AF ⊥ HK`

Lại có: `hat{HAB} = hat{CAK} ; hat{CAI} = hat{BAI}`

`=> hat{BAH} + hat{BAI} = hat{CAK} + hat{CAI}`

`=> hat{IAH} = hat{IAK}`

`=> AI` là tia phân giác của `hat{HAK}`

`=> AI` cũng là tia phân giác của `hat{BAC}`  (2)

Từ (1), (2)

`=>` 3 điểm A, I, F thẳng hàng

`=> AI ⊥ HK`

Mà HK // DE (cmt)

`=> AI ⊥ DE`   (đpcm)