Câu b)

$\begin{array}{l} {x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 5 = 0\\  \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 10 \end{array}$

Phương trình có tâm $I(1;-2)$ và có bán kính $R=\sqrt 10$

Vì tam giác $AMN$ vuông cân tại $A$ nên ta có $AM=AN$ lại có $IM=IN$ do $M,N$ thuộc (C) nên ta có AI là đường trung trực của MN nên $AI\bot MN$. Suy ra đường thẳng $MN$ có dạng $y=m$.

Vì $AI$ có đường thẳng $x=1$.

Từ đó, hoành độ của M và N là nghiệm của phương trình:

$x^2+m^2-2x+4m-5=0\Leftrightarrow x^2-2x+m^2+4m-5=0$.

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $\Delta'> 0\Rightarrow m^2+4m-6>0$. Sẽ kiểm tra khi giải xong.

Khi đó $M(x_1;m)$ và $M(x_2;m)$ với $x_1;x_2$ thỏa mãn:

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a} = 2\\ {x_1}{x_2} = {m^2} + 4m - 5 \end{array} \right.$

Vì tam giác $AMN$ vuông nên $MA\bot NA$ nên 
$\begin{array}{l} \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {NA}  = 0\left( {\overrightarrow {MA}  = \left( {1 - {x_1}; - m} \right),\overrightarrow {MB}  = \left( {1 - {x_2}; - m} \right)} \right)\\  \Leftrightarrow \left( {1 - {x_1}} \right)\left( {1 - {x_2}} \right) + {m^2} = 0\\  \Leftrightarrow \left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) + {m^2} = 0\\  \Leftrightarrow {x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 + {m^2} = 0\\  \Leftrightarrow 2{m^2} + 4m - 6 = 0\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 1\\ m =  - 3 \end{array} \right. \end{array}$

Thử lại ta được hai đường thẳng $y=1$ và $y=-3$ thỏa mãn yêu cầu bài toán