a) $\begin{array}{l} {x^2} - x + 1 = {x^2} - x + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}\\  = {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} \ge \dfrac{3}{4} > 0 \end{array}$

Vậy mệnh đề trên đúng với $\forall x\in \mathbb{R}$

b) Bây giờ ta chỉ cần chứng minh một số thỏa mãn mệnh đề trên thì mệnh đề trên là đúng.

$\begin{array}{l} x < \dfrac{1}{{2x}} \Leftrightarrow \dfrac{{1 - 2{x^3}}}{{2x}} > 0\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 1 - 2{x^3} > 0\\ 2x > 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} 1 - 2{x^3} < 0\\ 2x < 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x < \sqrt[3]{{\dfrac{1}{2}}} \end{array}$

Vậy mệnh đề là đúng

c) Ta chỉ cần chỉ ra một số không thỏa mãn mệnh đề.

Với $x=1$ thì $1>1+1=2$ điều này là vô lý. Vậy mệnh đề sai

d) Ta chỉ cần chứng minh tồn tại một số hữu tỉ sao cho mệnh đề đúng.

${x^2} = 3 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 3  \notin Q$. Vậy không tồn tại $x\in \mathbb{Q}$ sao cho $x^2=3$

a. $x^2-x+1 > 0$

Ta có: $x^2-2.x.\dfrac12+\dfrac14 +\dfrac34$

$= \left(x-\dfrac12\right)^2+\dfrac34$

Vì $\left(x-\dfrac12\right)^2\ge 0 \; \forall x\in \mathbb{R}$

$⇒ \left(x-\dfrac12\right)^2+\dfrac34\ge \dfrac34 > 0\; \forall x\in \mathbb{R}$

Vậy mệnh đề trên đúng.

b. $x < \dfrac1{2x}$

$⇔ \dfrac1{2x} \ge x$

$⇔ \dfrac1{2x} - x\ge 0$

$⇔ \dfrac{{1 - 2{x^2}}}{{2x}} > 0$

$⇔\left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 1 - 2{x^2} > 0\\ 2x > 0 \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} 1 - 2{x^2} < 0\\ 2x < 0 \end{array} \right. \end{array} \right.$

$⇔ 0 < x < \dfrac{1}{\sqrt[2]{2}}$

Vậy mệnh đề trên đúng.

c. $x>x+1$

$⇔ x-x-1 > 0$

$⇔ -1 > 0$ (vô lý)

Vậy mệnh đề trên sai.

d. $x^3 = 3$

$⇔ x=\pm \sqrt{3}$ (là số vô tỉ)

Vậy mệnh đề trên sai.