Đáp án:

$\\$

`a,`

Xét `ΔABC` vuông tại `B` có :

`AB^2 + BC^2 = AC^2` (Pitago)

`-> AC^2 = 5^2 + 12^2`

`-> AC^2 = 13^2`

`-> AC=13cm`

$\\$

`b,`

Xét `ΔABE` và `ΔDBE` có :

`hat{ABE} = hat{DBE}=90^o` (Do `ΔABC` vuông tại `B`)

`AB=BD` (gt)

`BE` chung

`-> ΔABE = ΔDBE` (cạnh - góc - cạnh)

$\\$

`c,`

Có : `BD=BA` (gt)

`-> B` là trung điểm của `AD`

`-> CB` là đường trung tuyến của `ΔABC`

Có : `BE= 4cm, BC = 12 cm`

`-> BE = 1/3BC` 

Rất đơn giản để có : `BE = 1/3 BC`

Ta thay `BC = 12cm` vào :

`-> BE = 1/3 . 12 =4cm` 

Xét `ΔABC` có :

`CB` là đường trung tuyến

`BE = 1/3 BC`

`-> E` là trọng tâm của `ΔABC`

`AE` cắt `DC` tại `K`

`-> AK` là đường trung tuyến của `ΔABC`

`-> K` là trung điểm của `DC`

$\\$

`d,`

Do `B` là trung điểm của `AD` (cmt)

`-> AB = 1/2 AD`

`-> AD = 2AB` 

Do `E` là trọng tâm của `ΔABC` (cmt)

`AK` là đường trung tuyến

`-> (AE)/(EK) = 2/1 = 2`

`-> AE =2EK`

Xét `ΔABE` có :

`hat{ABE}=90^o` (Do `ΔABC` vuông tại `B`)

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

`AE` là cạnh lớn nhất

`-> AB < AE`

mà `AE =2EK` (cmt)

`-> AB < 2EK`

Nhân `2` vào 2 vế ta được :

`-> 2AB < 4EK`

mà `2AB = AD` (cmt)

`-> AD < 4EK`