Đáp án:

 `m=6` hoặc `m=-4`

Giải thích các bước giải:

Phương trình 1 có 2 nghiệm phân biệt khi : `Delta>0`
                             `<=>[-(m+1)]^2-4m>0`
                             `<=>m^2+2m+1-4m>0`
                             `<=>m^2-2m+1>0`
                             `<=>` mà `(m-1)^2>= 0 forall m`
                             `=>mne1`
Theo hệ thức Vi-et ta có : $\left \{ {{x_1+x_2=m+1} \atop {x_1.x_2=2m}} \right.$ 
Vì `x_1,x_2` là độ dài góc vuông có cạnh huyên bằng 5 nên theo định lý Pi-ta go ta có:
`x_1^2+x_2^2=5^2`
`<=>x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-2x_1x_2=25`
`<=>(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=25`
Thay hệ thức viet vào ta được :
`<=>(m+1)^2-2.2m=25`
`<=>m^2+2m+1-4m=25`
`<=>m^2-2m-24=0`
`<=>(m-6)(m+4)=0`
`<=>`\(\left[ \begin{array}{l}m=6\\m=-4\end{array}(TM) \right.\) 
Vậy `m=6` hoặc `m=-4` để thỏa mãn đề bài

`x^2-(m+1)x+2m=0`   `(1)`

`Delta=[-(m+1)]^2-4.1.2m`

`=m^2+2m+1-8m`

`=m^2-6m+1`

Để phương trình `(1)` có 2 nghiệm phân biệt thì: `Delta>0`

`<=>m^2-6m+1>0`

`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}x<3-2\sqrt{2}\\x>3+2\sqrt{2}\end{array} \right.\) 

Khi đó theo hệ thức Vi - ét ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=m+1\\x_1x_2=2m\end{cases}$

Do `x_1;x_2` là độ dài `2` cạnh góc vuông của tam giác vuông nên: `x_1;x_2>0`

`=>` $\begin{cases}x_1+x_2>0\\x_1x_2>0\end{cases}$`<=>`$\begin{cases}m+1>0\\2m>0\end{cases}$

`<=>`$\begin{cases}m>-1\\m>0\end{cases}$`<=>m>0`

Lại có `x_1;x_2` là độ dài `2` cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng `5` nên áp dụng định lý Py - ta - go ta được: `x_1^2+x_2^2=5^2`

`<=>x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2=25`

`<=>(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=25`

`=>(m+1)^2-2.2m=25`

`<=>m^2+2m+1-4m=25`

`<=>m^2-2m+1-25=0`

`<=>(m-1)^2-5^2=0`

`<=>(m-1+5)(m-1-5)=0`

`<=>(m+4)(m-6)=0`

`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}m+4=0\\m-6=0\end{array} \right.\)`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}m=-4\quad(\text{loại})\\m=6\quad(\text{nhận})\end{array} \right.\) 

Vậy `m=6` là giá trị cần tìm.