Đáp án:

$\begin{array}{l}
a.t = \dfrac{{L - l}}{{2v}}\\
b.S = \dfrac{{uL}}{{v + u}}\left[ {1 + \dfrac{{\left( {u - v} \right)}}{{u + v}} + {{\left( {\dfrac{{u - v}}{{u + v}}} \right)}^2} + ... + {{\left( {\dfrac{{u - v}}{{u + v}}} \right)}^{n - 1}}} \right]
\end{array}$ 

Giải thích các bước giải:

a. Thời gian con Hải Âu bay được là:
$t = \dfrac{{L - l}}{{v + v}} = \dfrac{{L - l}}{{2v}}$

Quãng đường con Hải Âu bay được là:

$s = ut = \dfrac{{u\left( {L - l} \right)}}{{2v}}$

b. Gọi s1 là quãng đường con Hải Âu đi được cho đến khi gặp tàu B lần thứ nhất.

s1' là quãng đường tàu A đi được trong quá trình con Hải Âu bay và gặp tàu B lần thứ nhất

Δs1 là khoảng con Hải Âu và đoàn tàu A lần thứ nhất

t1 là thời gian con Hải Âu gặp đoàn tàu B lần thứ nhất

Ta có:

$\begin{array}{l}
{t_1} = \dfrac{L}{{u + v}} \Rightarrow {s_1} = u{t_1}\\
{s_1}' = v{t_1} \Rightarrow \Delta {s_1} = {s_1} - {s_1} = {u_1} - v{t_1} = \left( {u - v} \right){t_1}
\end{array}$
Tương tự với lần 2 ta được :

s2 là quãng đường con Hải Âu đi được cho đến khi gặp tàu B lần thứ hai

s2' là quãng đường tàu A đi được trong quá trình con Hải Âu bay và gặp tàu B lần thứ hai

Δs2 là khoảng con Hải Âu và đoàn tàu A lần thứ hai

t2 là thời gian con Hải Âu gặp đoàn tàu B lần thứ hai

Nên:

${t_2} = \dfrac{{{s_1}'}}{{u + v}} = \dfrac{{\left( {u - v} \right){t_1}}}{{u + v}} \Rightarrow \dfrac{{{t_2}}}{{{t_1}}} = \dfrac{{u - v}}{{u + v}}$

Ta suy ra được công thức tổng quát về thời gian các lần gặp theo n lần gặp:

$\begin{array}{l}
\dfrac{{{t_2}}}{{{t_1}}} = \dfrac{{{t_3}}}{{{t_2}}} = \underbrace {...}_{n - 1} = \dfrac{{{t_n}}}{{{t_{n - 1}}}} = \dfrac{{u - v}}{{u + v}}\\
 \Rightarrow {t_3} = \dfrac{{\left( {u - v} \right){t_2}}}{{u + v}},{t_2} = \dfrac{{\left( {u - v} \right){t_1}}}{{u + v}}\\
 \Rightarrow {t_3} = {\left( {\dfrac{{u - v}}{{u + v}}} \right)^2}{t_1} \Rightarrow {t_4} = {\left( {\dfrac{{u - v}}{{u + v}}} \right)^3}{t_1}\\
\left. \begin{array}{l}
.\\
.\\
.
\end{array} \right\}n - 1\\
 \Leftrightarrow {t_n} = {\left( {\dfrac{{u - v}}{{u + v}}} \right)^{n - 1}}{t_1}
\end{array}$

Vậy Quãng đường đi được của Hải Âu với đoàn tàu ở lần gặp nhau thứ n là:

$\begin{array}{l}
S = {s_1} + {s_2} + {s_3} + ... + {s_n} = u{t_1} + u{t_2} + u{t_3} + .... + u{t_n}\\
 \Leftrightarrow S = u\left[ {{t_1} + \dfrac{{\left( {u - v} \right){t_1}}}{{u + v}} + {{\left( {\dfrac{{u - v}}{{u + v}}} \right)}^2}{t_1} + ... + {{\left( {\dfrac{{u - v}}{{u + v}}} \right)}^{n - 1}}{t_1}} \right]\\
 \Leftrightarrow S = u{t_1}\left[ {1 + \dfrac{{\left( {u - v} \right)}}{{u + v}} + {{\left( {\dfrac{{u - v}}{{u + v}}} \right)}^2} + ... + {{\left( {\dfrac{{u - v}}{{u + v}}} \right)}^{n - 1}}} \right]\\
{t_1} = \dfrac{L}{{v + u}} \Rightarrow S = \dfrac{{uL}}{{v + u}}\left[ {1 + \dfrac{{\left( {u - v} \right)}}{{u + v}} + {{\left( {\dfrac{{u - v}}{{u + v}}} \right)}^2} + ... + {{\left( {\dfrac{{u - v}}{{u + v}}} \right)}^{n - 1}}} \right]
\end{array}$