Gửi cậu 🙆‍♀️💜

a. Ta có: ΔABC cân tại A (gt) 

→AB = AC (định nghĩa)

→$\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$ (định lý)

Xét ΔABM và ΔACM có: 

AB = AC (cmt) 

$\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$ (cmt) 

AM là cạnh chung

→ΔABM = ΔACM (c.g.c)

b. Xét ΔAIM và ΔEIC có: 

AI = IC (I là trung điểm của AC)

$\widehat{AIM}$ = $\widehat{EIC}$ (hai góc đối đỉnh)

IE = IM (gt) 

→ΔAIM = ΔEIC (c.g.c) 

→AM = EC (hai cạnh tương ứng)

c. Trong ΔABC cân tại A có: 

AM là đường cao

→AM ⊥ BC 

Ta có: $\widehat{MAI}$ = $\widehat{ECI}$ (vì ΔAIM = ΔEIC)

mà hai góc này ở vị trí so le trong

→AM // EC 

Ta có: 

AM ⊥ BC (cmt)

AM // EC (cmt)

→EC ⊥ BC (từ vuông góc đến song song)

Xét ΔAMC vuông tại M và ΔECM vuông tại C có: 

CM là cạnh chung

AM = EC (cmt) 

→ΔAMC = ΔECM (hai cạnh góc vuông)

→EM = AC (hai cạnh tương ứng)

Ta có: AM // EC (hay AM // EK)

→$\widehat{AMC}$ = $\widehat{KMC}$ (so le trong) 

MK // AC 

→$\widehat{CMK}$ = $\widehat{MCA}$ (so le trong) 

Xét ΔAMC và  ΔKCM có: 

$\widehat{AMC}$ = $\widehat{KMC}$

CM là cạnh chung

$\widehat{CMK}$ = $\widehat{MCA}$

→ΔAMC =  ΔKCM (g.c.g)

→MK = AC (hai cạnh tương ứng)

mà AC = EM (cmt)

→MK = EM 

Xét ΔEMC vuông tại C và ΔKMC vuông tại C có: 

CM là cạnh chung

MK = EM (cmt)

→ΔEMC = ΔKMC (cạnh huyền-cạnh góc vuông) 

→$\widehat{EMC}$ = $\widehat{KMC}$ (hai góc tương ứng) 

→MC là đường phân giác của $\widehat{EMK}$

d. Câu này tớ không biết làm, mong cậu thông cảm nha

Chu vi của ΔMIF lớn hơn 6cm

Đáp án:

$\\$

`a,`

Xét `ΔABM` và `ΔACM` có :

`AM` chung

`AB=AC` (Do `ΔABC` cân tại `A`)

`AM` chung

`-> ΔABM = ΔACM` (cạnh - góc - cạnh)

$\\$

`b,`

Xét `ΔAIM` và `ΔCIE` có :

`hat{AIM}=hat{CIE}` (2 góc đối đỉnh)

`IM=IE` (gt)

`AI=CI` (Do `I` là trung điểm của `AC`)

`-> ΔAIM = ΔCIE` (cạnh - góc - cạnh0

`-> AM = EC` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

`c,`

Xét `ΔABC` cân tại `A` có :

`AM` là đường phân giác

`-> AM` là đường cao

`-> AM⊥BC`

Do `ΔAIM = ΔCIE` (cmt)

`-> hat{MAI}=hat{ECI}` (2 góc tương ứng)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong

$→ AM//EC$

Có :$\begin{cases} AM//EC\\AM⊥BC\end{cases}$ (cmt)

$→ EC⊥BC$

Xét `ΔAMC` và `ΔECM` có :

`hat{AMC}=hat{ECM}=90^o` (Do `AM⊥BC, EC⊥BC`)

`MC` chung

`AM=EC` (cmt)

`-> ΔAMC = ΔECM` (cạnh - góc - cạnh)

`-> EM = AC` (2 cạnh tương ứng)

Có : $AM//EC$ (cmt)

hay $AM//EK$

`-> hat{AMC}=hat{KCM}` (2 góc so le trong)

Do $MK//AC$

`-> hat{CMK} = hat{MCA}` (2 góc so le trong)

Xét `ΔAMC` và `ΔKCM` có :

`hat{AMC}=hat{KCM}` (cmt)

`MC` chung

`hat{CMK}=hat{MCA}` (cmt)

`-> ΔAMC = ΔKCM` (góc - cạnh - góc)

`-> MK = AC` (2 cạnh tương ứng)

mà `EM =AC` (cmt)

`-> MK =EM (=AC)`

Xét `ΔECM` và `ΔKCM` có :

`hat{ECM}=hat{KCM}=90^o` (DO `EC⊥BC`)

`MC` chung

`EM=MK` (cmt)

`-> ΔECM = ΔKCM` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

`-> hat{CME}=hat{CMK}` (2 góc tương ứng)

hay `CM` là tia phân giác của `hat{EMC}`

$\\$

`d,`

Có : `IM=IE` (gt)

`-> I` là trung điểm của `ME`

`-> KI` là đường trung tuyến của `ΔMKE` 

Do `ΔECM = ΔKCM`  (cmt)

`-> EC = KC` (2 cạnh tương ứng)

`-> C` là trung điểm của `EK`

`-> MC` là đường trung tuyến của `ΔMKE`

Xét `ΔMKE` có :

`KI` là đường trung tuyến (cmt)

`MC` là đường trung tuyến (cmt)

`KI` cắt `MC` tại `H`

`-> H` là trọng tâm của `ΔMKE`

mà `EH` cắt `MK` tại `F`

`-> EF` là đường trung tuyến của `ΔMKE`

`-> F` là trung điểm của `MK`

mà `I` là trung điểm của `ME` (cmt)

`-> MF = 1/2 MK, MI = 1/2 ME`

mà `MK = ME` (cmt)

`-> MF = MI`

Xét `ΔAMC` vuông tại `M (AM⊥BC`) có :

`MI` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền `AC`

`-> MI = 1/2 AC`

mà `AI = 1/2 AC` (Do `I` là trung điểm của `AC`)

`-> MI = AI (=1/2 AC)`

mà `MF = MI` (cmt)

`-> AI =MF (=MI)`

Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔAIM` có :

`AI + MI > AM`

mà `AI = MF` (cmt) và `AM=3cm` (gt)

`-> MF + MI > 3cm` 

Do $MK//AC$ (gt)

`-> hat{AIM}=hat{FMI}` (2 góc so le trong)

Xét `ΔAIM` và `ΔFMI` có :

`hat{AIM}=hat{FMI}` (cmt)

`MI` chung

`AI=FM` (cmt)

`-> ΔAIM = ΔFMI` (cạnh - góc - cạnh)

`-> AM = IF` (2 cạnh tương ứng)

mà `AM=3cm` (gt)

`-> IF = 3cm`

Có : `P_{ΔMIF} = MI + MF + IF`

mà `MI + MF > 3cm` (cmt) và `IF = 3cm`

`-> MI + MF + IF > 3cm+3cm`

`-> MI + MF + IF > 6cm`

`-> P_{ΔMIF} > 6cm`