Giải thích các bước giải:

$a)\Delta ABC$ cân tại $A$

$\Rightarrow AB=AC; \widehat{B}= \widehat{C}=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}(1)$

Mà $BM=CN$

$\Rightarrow AB-BM=AC-CN\\ \Leftrightarrow AM=AN$

$\Rightarrow \Delta AMN$ cân tại $A$

$\Rightarrow \widehat{M_1}= \widehat{N_1}=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}(2)\\ (1)(2)\Rightarrow \widehat{B}= \widehat{C}=\widehat{M_1}= \widehat{N_1}$

Xét $\Delta AMN$ và $\Delta ABC$

$\widehat{M_1}=\widehat{B}\\  \widehat{N_1}= \widehat{C}\\ \Rightarrow \Delta AMN \backsim \Delta ABC\\ b)\widehat{M_1}=\widehat{B}\\ \Rightarrow MN//BC$Mà $BM=CN$

$\Rightarrow MNCB $ là hình thang cân

$c)\Delta AMN, E,F$ là trung điểm $AM,AN$

$\Rightarrow EF$ là đường trung bình $\Delta AMN$

$\Rightarrow EF//MN(3), EF=\dfrac{MN}{2}$

Hình thang $MNCB, G,H$ là trung điểm của $NC, MB$

$\Rightarrow GH$ là đường trung bình hình thang $MNCB$

$\Rightarrow GH//MN(4), GH=\dfrac{MN+BC}{2}\\ (3)(4)\Rightarrow EF//GH(5)$

$E,F$ là trung điểm $AM,AN ; AM=AN\Rightarrow EM=FN$

Tương tự có: $HM=GN$

$\Rightarrow EM+HM=FN+GN\\ \Leftrightarrow EH=FG(6)$

$(5)(6)\Rightarrow EFGH$ là hình thang cân

$d)EF=\dfrac{MN}{2}=3\\ \Rightarrow MN=6\\ GH=\dfrac{MN+BC}{2}=8\\ \Rightarrow MN+BC=16\\ \Leftrightarrow BC=16-MN\\ \Leftrightarrow BC=10$