`\text{a)}`

Xét `\Delta ABD` vuông tại `A` và `\Delta HBD` vuông tại `H` có :

`\hat{ABD} = \hat{HBD}`

`BD` _ cạnh chung

`-> \Delta ABD = \Delta HBD` ( ch-gn)

`-> AD = HD` ( `2` cạnh tương ứng )

$\\$ 

`\text{b)}`

Xét `\Delta ADK` vuông tại `A` và `\Delta HDC` vuông tại `H` có : 

`AD = HD` (cmt)

`\hat{ADK} = \hat{HDC}` ( `2` góc đối đỉnh )

`-> \Delta ADK = Delta HDC` ( cgv - gn kề cạnh ấy )

`-> AK = HC`

`-> AB + AK =BH + HC` ( `BA = BH` )

`-> BK = BC`

`-> \Delta BKC` cân tại `B`

Xét `\Delta BKC` cân tại `B` có :

`BD` là tia phân giác xuất phát từ `B` ứng với cạnh `KC`

`->` `BD` đồng thời là đường cao xuất phát từ `B` ứng với cạnh `KC`

`-> BD ⊥ KC`

$\\$

`\text{c)}`   

 `\Delta ADK = Delta HDC` (cmt)

`-> \hat{AKD} = \hat{HCD}`

`\Delta BKC` cân tại `B`

`-> \hat{BKC} = \hat{BCK}` 

`-> \hat{BKC} - \hat{AKD}  = \hat{BCK} - \hat{HCD}`

`->  \hat{DKC} = \hat{DCK}`

`-> \Delta DKC` cân tại `D`

`-> DK = DC`

Áp dụng BĐT `\Delta` cho `\Delta DKC` có :

`DK  + DC  > KC` `(1)`

Áp dụng BĐT `\Delta` cho `\Delta ADK` có:

`AD  + AK > DK`  

`-> 2(AD +AK) > 2DK`

`-> 2(AD + AK) > DK + DK`

`-> 2(AD+AK) > DK + DC` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` 

`-> 2(AD + AK)> KC` 

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

`a)`  Có `Δ ABC` vuông tại `A` $(gt)$

`⇒ BAC= 90^o` $(t/c)$

`⇒ BAD= 90^o`

`⇒ Δ BADvuông tại $A$ $(đ/n)$

Có `DH ⊥ BC` tại `H` $(gt)$

`⇒ DHB= DHC= 90^o` $(t/c)$

`⇒ ΔDEB` vuông tại $E$ $(đ/n)$

Có `BD` là tia phân giác của $BAC$ $(gt)$

`⇒ ABD= HBD` `(t/c)`

Xét ` Δ BAD vuông tại $A$ và `ΔBHD` vuông tại $H$ có:

`ABD= HBD` `(cmt)`

`BD:` cạnh chung

`⇒ Δ BAD` = $ΔBHD$ `(ch- gn)`

`→ AD= HD (2` cạnh tương ứng)

`b)

Có `BAD+ DAK= 180^o (2` góc kề bù)

           `BHD+ DHC= 180^o (2` góc kề bù)

Mà `BAD= BHD= 90^o`

Móc  cả ba lại⇒ `\hat{DAK}= \hat{DHC}= 90^o`

Xét `Δ ADK` và`ΔHDC` có:

`\hat{DAK}= \hat{DHC}` `(cmt)`

`DA= DH` `(cmt)`

`\hat{ADK}= `{HDC} (2` góc đối đỉnh)

`→ ΔADK= ΔHDC (g- c- g)`

`→ AK= HC (2` cạnh tương ứng)

Có `Δ BAD` = $ΔBHD$

`→ BA= BH (2` cạnh tương ứng)

Có `BA+ KA= BK`

`BH+ HC= BC`

mà `BA= BH (cmt)`

`AK= KC (cmt)`

`→ BK= BC`

Gọi giao điểm của `KC` và `BD` là `I`

Xét `ΔBKI` và `ΔBCI` có:

`BK= BC (cmt)`

`KBI= IBC` (do `BD` là phân giác)

`BI` cạnh chung

`→ ΔBKI= ΔBCI (c- g- c)`

`→ BIK= BIC (2` góc tương ứng)

mà `BIK+ BIC= 180^o (2` góc kề bù)

`→ BIK= BIC= 180^o/2= 90^o`

`→ BI ⊥ KC (đ- n)`

`→ BD ⊥ KC (đ- n)`