Đáp án:

$\\$

`a,`

Do `ΔABC` vuông tại `B`

`-> hat{ABD}=90^o`

Do `AD` là đường phân giác 

`-> hat{BAD} = hat{EAD}`

Do `E` là hình chiếu của `D` trên `AC`

`-> DE⊥AC`

`-> hat{AED} = 90^o`

Xét `ΔABD` và `ΔAED` có :

`hat{ABD}=hat{AED}=90^o`

`AD` chung

`hat{BAD}=hat{EAD}` (chứng minh trên)

`-> ΔABD = ΔAED` (cạnh huyền - góc nhọn)

`-> BD=ED` (2 cạnh tương ứng)

`-> ΔBDE` cân tại `D`

$\\$

`b,`

Do `ΔABD=ΔAED` (chứng minh trên)

`-> AB=AE` (2 cạnh tương ứng)

`-> A` nằm trên đường trung trực của `BE` `(1)`

Có : `BD=ED` (chứng minh trên)

`-> D` nằm trên đường trung trực của `BE` `(2)`

Từ `(1), (2)`

`-> AD` là đường trung trực của `BE`

$\\$

`c,`

Có : `DE⊥AC`

`-> hat{DEC}=90^o`

Xét `ΔDEC` có :

`hat{DEC}=90^o`

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

`DC` là cạnh lớn nhất

`-> CD  > DE`

mà `BD=DE` (chứng minh trên)

`-> BD < CD`

$\\$

`d,`

Xét `ΔFBD` và `ΔCED` có :

`hat{FBD}=hat{CED}=90^o`

`BD=DE` (chứng minh trên)

`BF=EC` (giả thiết)

`-> ΔFBD = ΔCED` (cạnh - góc - cạnh)

`-> hat{BDF}=hat{EDC}` (2 góc đối đỉnh)

Có : `hat{EDC} + hat{BDE}=180^o` (2 góc kề bù)

mà `hat{BDF}=hat{EDC}` (chứng minh trên)

`-> hat{BDF} + hat{BDE}=180^o`

`-> hat{EDF} = 180^o`

`-> hat{EDF}` là góc bẹt

`-> E,D,F` thẳng hàng

`\text{a)}`

Xét `\Delta BAD` vuông tại `B`  và `\Delta EAD` vuông tại `E` có :

`\hat{BAD} = \hat{EAD}`

`AD` _ cạnh chung

`-> \Delta BAD = \Delta EAD ( ch -gn)`

`-> BD = DE`

`-> \Delta BDE` cân tại `D`

$\\$

`\text{b)}`

Từ ` \Delta BAD = \Delta EAD ` (cmt)

`-> BA = EA`

`-> \Delta BAE` cân tại `A`

Xét `\Delta BAE` cân tại `A` có :

`AD` là tia phân giác của `\hat{A}` ứng với cạnh `BE`

`-> AD`  đồng thời là đường trung trực của `BE`

$\\$

`\text{c)}`

Xét `\Delta DEC` vuông tại `E` có :

`DE  < DC`

( `DC` là cạnh huyền )

`->BD = DE < DC`

`-> BD < DC`

$\\$

`\text{d)}`    

Xét `\Delta FAC` có :

`FE` là đường cao xuất phát từ `F` ứng với `AC`

`BC` là đường cao xuất phát từ `B` ứng với `AF`  

Mà `FE ∩ BC = {D}`

`-> D` là trực tâm của `\Delta FAC`

`-> F , D , E` thẳng hàng

`-> AD ⊥ FC`