Đáp án:

$\\$

`a,`

Do `ΔABC` cân tại `A`

`-> AB=AC`

Do `AH` là đường phân giác của `hat{A}`

`-> hat{BAH} = hat{CAH}`

Xét `ΔAHB` và `ΔAHC` có :

`AH` chung

`AB=AC` (chứng minh trên)

`hat{BAH}=hat{CAH}` (chứng minh trên)

`-> ΔAHB = ΔAHC` (cạnh - góc - cạnh)

`-> HB=HC` (2 cạnh tương ứng)

Do `ΔAHB=ΔAHC` (chứng minh trên)

`-> hat{AHB}=hat{AHC}` (2 góc tương ứng)

mà `hat{AHB} + hat{AHC}=180^o` (2 góc kề bù)

`-> hat{AHB} =hat{AHC}=180^o/2 = 90^o`

hay `AH⊥BC`

$\\$

$\\$

`b,`

Có : `HB=HC` (chứng minh trên)

`-> H` là trung điểm của `BC`

`-> BH=1/2BC`

`-> BH = 1/2 . 36`

`-> BH=18cm`

Xét `ΔAHB` vuông tại `H` có :

`AH^2 + BH^2 = AB^2` (Pitago)

`-> AH^2 = AB^2 - BH^2`

`-> AH^2 = 30^2 - 18^2`

`-> AH^2 = 24^2`

`-> AH=24cm`

$\\$

$\\$

`c,`

Có : `H` là trung điểm của `BC`

`-> AH` là đường trung tuyến của `ΔABC`

Có : `M` là trung điểm của `AC`

`-> BM` là đường trung tuyến của `ΔABC`

Xét `ΔABC` có :

`AH` là đường trung tuyến

`BM` là đường trung tuyến

`AH` cắt `BM` tại `G`

`-> G` là trọng tâm của `ΔABC`

`AH` là đường trung tuyến

`-> AG = 2/3 AH`

`-> AG = 2/3 . 24`

`-> AG = 16cm`

Lại có : `G` là trọng tâm của `ΔABC`

Với `AH` là đường trung tuyến

`-> GH = 1/3 AH`

`-> GH = 1/3 . 24`

`-> GH = 8cm`

Xét `ΔBHG` vuông tại `H` có :

`BH^2 + GH^2 = BG^2` (Pitago)

`-> BG^2 = 18^2 + 8^2`

`-> BG^2 = 388`

`-> BG = \sqrt{388}cm`

Có : `G` là trọng tâm của `ΔABC`

`BM` là đường trung tuyến 

`-> BG = 2/3 BM`

`-> \sqrt{388} = 2/3 BM`

`-> BM = 3 \sqrt{97}cm`

$\\$

$\\$

`d,`

Do `ΔABC` cân tại `A`

`-> hat{B}=hat{C}`

Do $DH//AC$

`-> hat{DHB} = hat{C}` (2 góc đồng vị)

mà `hat{B}=hat{C}` (chứng minh trên)

`-> hat{DHB} = hat{B} (= hat{C})`

`-> ΔBDH` cân tại `D`

`-> BD = DH` `(1)`

Do `ΔAHB=ΔAHC` (chứng minh trên)

`-> hat{BAH} = hat{HAC}` (2 góc tương ứng)

hay `hat{DAH} = hat{HAC}`

Do $DH//AC$

`-> hat{DHA} = hat{HAC}` (2 góc so le trong)

mà `hat{DAH} = hat{HAC}` (chứng minh trên)

`-> hat{DHA} = hat{DAH} (= hat{HAC})`

`-> ΔADH` cân tại `D`

`-> AD = DH` `(2)`

Từ `(1), (2)`

`-> BD = AD (= DH)`

`-> D` là trung điểm của `AB`

`-> CD` là đường trung tuyến của `ΔABC`

`-> CD` đi qua trọng tâm `G` của `ΔABC`

`-> C,G,D` thẳng hàng

a)Ta có: tam giác ABC cân

mà trong tam giác cân đg phân giác trùng với đg cao và đg trung tuyến

=>AH⊥BC ; HB=HC

b)

Ta có: 

HB=HC(phần a)

=> HB = HC = $\frac{36}{2}$ = 18 (cm)

Áp dụng đl Py-ta-go lên tam giác ABH ta có:

AH²=AB²-BH²

AH=√576 = 24(cm)

c)

Ta có:

AG = $\frac{2}{3}$   AH

AG=16(cm)

=>GH=AH-AG=8(cm)

Áp dụng đl Pytago lên tam giác BGH ta có:

BG²=BH²+GH²

BG²=8²+18²

BG²=388

BG=√388≈19,7(cm)

mà BM=$\frac{3}{2}$BG

=>BM =29,55