Đáp án:

$\\$

`a`

Do `ΔABC` cân tại `A`

`-> AB=AC`

Do `AH` là tia phân giác của `hat{A}`

`-> hat{BAH}=hat{CAH}`

Xét `ΔABH` và `ΔACH` có :

`AH` chung

`AB=AC` (chứng minh trên)

`hat{BAH} = hat{CAH}` (chứng minh trên)

`-> ΔABH=ΔACH` (cạnh - góc - cạnh)

Do `ΔABC` cân tại `A`

`-> hat{ABC} = (180^o-hat{BAC})/2`

`-> hat{ABC} = (180^o-30^o)/2`

`-> hat{ABC}=150^o/2`

`-> hat{ABC}=75^o`

$\\$

$\\$

`b,`

Do `D` là trung điểm của `AC`

`-> AD =CD`

Do `D` là trung điểm của `HE`

`-> HD = ED`

Xét `ΔADH` và `ΔCDE` có :

`hat{ADH}=hat{CDE}` (2 góc đối đỉnh)

`AD=CD` (chứng minh trên)

`HD=ED` (chứng minh trên)

`-> ΔADH=ΔCDE` (cạnh - góc - cạnh)

`-> hat{HAD} = hat{ECD}` (2 góc tương ứng)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong

$→ AH//CE$

Có : `D` là trung điểm của `AC`

`-> HD` là đường trung tuyến của `ΔAHC`

Có : `F` là trung điểm của `AH`

`-> CF` là đường trung tuyến của `ΔAHC`

Xét `ΔAHC` có :

`HD` là đường trung tuyến

`CF` là đường trung tuyến

`HD` cắt `CF` tại `Q`

`-> Q` là trực tâm của `ΔAHC`

`HD` là đường trung tuyến

`-> HQ = 2/3 HD`

mà `HD =1/2 HE` (Do `D` là trung điểm của `HE`)

`-> HQ = 2/3 . 1/2 HE`

`-> HQ = 1/3 HE`

$\\$

$\\$

`c,`

Do `ΔABH=ΔACH` (chứng minh trên)

`-> BH=CH` (2 cạnh tương ứng)

`-> H` là trung điểm của `BC`

`-> CH = 1/2 BC`

`-> BC = 2CH`

Do `ΔABH=ΔACH` (chứng minh trên)

`-> hat{AHB}=hat{AHC}` (2 góc tương ứng)

mà `hat{AHB} + hat{AHC}=180^o` (2 góc kề bù)

`-> hat{AHB}=hat{AHC}=180^o/2=90^o`

hay `AH⊥BC`

Xét `ΔFHC` có :

`hat{FHC}=90^o` (Do `AH⊥BC`)

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

`CF` là cạnh lớn nhất

`->CF > CH`

Nhân cả 2 vế cho `2` ta được :

`-> 2CF > 2CH`

mà `2CH = BC` (chứng minh trên)

`-> 2CF > BC`

Lại nhân cả 2 vế với 2 một lần nữa ta được :

`-> 4CF > 2BC` `(1)`

Có : \(\left\{ \begin{array}{l}AH//CE\\AH⊥BC\end{array} \right.\) (chứng minh trên)

`-> CE⊥BC`

Xét `ΔHCE` có :

`hat{HCE}=90^o` (Do `CE⊥BC`)

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

`HE` là cạnh lớn nhất

`-> HE > CH`

Nhân cả 2 vế với `2` ta được :

`-> 2HE > 2CH`

mà `2CH=BC` (chứng minh trên)

`-> 2HE > BC` `(2)`

Đem `(1) +(2)` vế với vế ta được :

`-> 2BC + BC < 2HE + 4CF`

`-> 3BC < 2HE + 4CF`