Đáp án:

 `1) a) x_1=1; x_2=2    b) m_1=2; m_2=1/2`

 `2) 12 km``/``h`

Giải thích các bước giải:

 `1)` phương trình: `x^2-2(m+1)x+4m=0` `(1)`

`a)` Thay `m=1/2` vào phương trình `(1)` ta được:

  `x^2-2(1/2+1)x+4. 1/2=0`

`<=> x^2-3x+2=0` `(a=1; b=-3; c=2)`

Ta có: `a+b+c=1-3+2=0`

`=> x_1=1;  x_2=c/a=2`

`b)`

Xét phương trình `(1)` `(a=1; b=-2(m+1); c=4m)`

Ta có: `Δ=b^2-4ac`

             `=[-2(m+1)]^2 - 4.1.4m`

             `=4(m+1)^2 - 16m`

             `=4(m^2+2m+1) - 16m`

             `=4m^2+8m+4-16m`

             `=4m^2-8m+4`

             `=(2m-2)^2`

Để phương trình `(1)` có 2 nghiệm phân biệt

thì `Δ>0`

hay `(2m-2)^2>0`

 `=> 2m-2 \ne 0`

`=> 2m \ne 2`

`=> m \ne 1`

Với `m \ne 1` phương trình `(1)` có 2 nghiệm phân biệt `x_1; x_2`

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:

$\begin{cases} x_1+x_2=-b/a=2(m+1)=2m+2\\\\x_1x_2=c/a=4m \end{cases}$

Ta có: `(x_1)/(x_2) + (x_2)/(x_1)=5/2`

   `<=> (x_1^2 + x_2^2)/(x_1x_2)=5/2`

   `=> 2(x_1^2 + x_2^2) =5x_1x_2`

  `<=> 2((x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2)-5x_1x_2=0`

  `<=> 2(x_1+x_2)^2 - 9x_1x_2=0`

  `<=> 2(2m+2)^2 - 9.4m=0`

  `<=> 8m^2 + 16m + 8 - 36m=0`

   `<=> 8m^2 - 20m + 8 =0`

`<=> 2^2 - 5m + 2 = 0`

Giải ta được: $\begin{cases} m_1=2 (tm)\\\\m_2=\frac{1}{2} (tm)\end{cases}$

`2)`

Gọi `x` (km/h) là vận tốc của ca nô khi nước yên lặng `(x>2)`

       vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là: `x+2` (km/h)

       vận tốc của ca nô khi ngược dòng là: `x-2` (km/h)

       Thời gian ca nô xuôi dòng là: `42/(x+2)` (giờ)

        Thời gian ca nô ngược dòng là: `20/(x-2)` (giờ)

  Theo đề ta có phương trình:

    `42/(x+2) + 20/(x-2)=5`

`<=> (42x - 84 + 20x + 40)/((x+2)(x-2))=5`

`<=> (62x - 44)/(x^2 - 4)=5`

`=> 62x - 44 = 5x^2 - 20`

`<=> 5x^2 - 62x + 24=0`

Giải phương trình ta được: $\begin{cases} x_1=12 (tm)\\\\x_2=\frac{2}{5} (ktm) \end{cases}$

Vậy vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là `12` km/h

Bài 3 : 1)$x^2-2(m+1)x+4m=0(1)$

$a)$ Khi $m=\frac{1}{2}$ 

$⇒x^2-2(\frac{1}{2}+1)x+4\frac{1}{2}=0$

$⇔x^2-3x+2=0$

$⇔x^2-2x-x+2=0$

$⇔x(x-2)-(x-2)=0$

$⇔(x-1)(x-2)=0$

$⇔x=1,x=2$

$b)$ Để $(1)$ có 2 nghiệm phân biệt thì $Δ'>0$

$⇔m^2+2m+1-4m>0$

$⇔m^2-2m+1>0$

$⇔(m-1)^2>0$ $(m≠1)$

Theo vi -ét ta có

$\left \{ {{S=x_1+x_2=2m+2} \atop {P=x_1.x_2=4m}} \right.$ 

$\frac{x_1}{x_2}+$ $\frac{x_2}{x_1}=$ $\frac{5}{2}$ 

$⇔$$\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1.x_2}=$ $\frac{5}{2}$ 

$⇔2x_1^2+2x_2^2=5x_1.x_2$

$⇔2(x_1+x_2)^2-9x_1x_2=0$

$⇔2(4m^2+8m+4)-36m=0$

$⇔8m^2+16m+8-36m=0$

$⇔8m^2-20m+8=0$

$⇔m=2(n),m=\frac{1}{2}(n)$

Bài 3 : 2)Gọi $x$ là vận tốc ca nô khu nước yên lặng $(x>2)$

$x+2$ là vận tốc ca nô khi xuôi dòng

$x-2$ là vận tốc ca nô khi ngược dòng

$\frac{42}{x+2}$ là thời gian ca nô khi xuôi dòng

$\frac{20}{x-2}$ là thời gian ca nô khi ngược dòng

Theo đề bài ta có

$\frac{42}{x+2}+$$\frac{20}{x-2}=5$

$⇔42(x-2)+20(x+2)=5(x+2)(x-2)$

$⇔42x+20x-84+40=5x^2-10x+10x-20$

$⇔-5x^2+62x-24=0$

$⇔x=12(n),x=\frac{2}{5}(l)$

Vậy vận tốc ca nô là $12km/h$