a/ ĐKXĐ: $a\ne 0;a\ne -1$

$M\,=\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{a}{a+1}\right):\dfrac{a}{a^2+a}\\\quad =\left(\dfrac{a+1}{a(a+1)}+\dfrac{a^2}{a(a+1)}\right).\dfrac{a(a+1)}{a}\\\quad =\dfrac{a+1+a^2}{a(a+1)}.(a+1)\\\quad =\dfrac{a^2+a+1}{a}$

Vậy $A=\dfrac{a^2+a+1}{a}$ với $a\ne 0;a\ne -1$

b/ $(a-5)(a+1)=0\\↔\left[\begin{array}{1}a-5=0\\a+1=0\end{array}\right.\\↔\left[\begin{array}{1}a=5\\a=-1\end{array}\right.$

mà theo ĐKXĐ: $a\ne 0;-1$

$→a=5$

Với $a=5$ (thỏa mãn điều kiện)

$→A=\dfrac{5^2+5+1}{5}=\dfrac{31}{5}$

Vậy $A=\dfrac{31}{5}$ với $(x-5)(x+1)=0$

c/ $A\,=\dfrac{a^2+a+1}{a}\\\quad =\dfrac{a(a+1)+1}{a}\\\quad =a+1+\dfrac{1}{a}$

Do $a>0→\dfrac{1}{a}>0$

Áp dụng BĐT Cô si với 2 số dương $a,\dfrac{1}{a}$

$a+\dfrac{1}{a}\ge 2\sqrt{a.\dfrac{1}{a}}\\↔a+\dfrac{1}{a}\ge 2\\↔A\ge 3\\→\min A=3$

$→$ Dấu "=" xảy ra khi $a=\dfrac{1}{a}$

$↔a^2=1\\↔a=±1$

mà $a\ne 0;-1;a>0$

$→a=1$

Vậy $\min A=3$ khi $a=1$

Đáp án + Giải thích các bước giải:

a) `M=(1/a+\frac{a}{a+1}:\frac{a}{a^2+a}) (a≠0,a≠-1)`

`\frac{a+1+a^2}{a(a+1)}.\frac{a(a+1)}{a}=\frac{a^2+a+1}{a}`

b) `(a-5)(a+1)=0`

`<=>`\(\left[ \begin{array}{l}a-5=0\\a+1=0\end{array} \right.\) `<=>` \(\left[ \begin{array}{l}a=5(t/m)\\a=-1(loại)\end{array} \right.\) 

Với `a=5` thì `M=\frac{5^2+5+1}{5}=\frac{31}{5}`

c) `M=\frac{a^2+a+1}{a}=a+1+1/a`

`a>0=>1/a>0`

Áp dụng bất đẳng thức cô si với hai số là `a` và `1/a`, có:

`a+1/a≥\2\sqrt{a.\frac{1}{a}}=2`

`<=> a+1+1/a≥3`

Dấu "=" xảy ra khi `<=>a=1/a` 

`<=> a^2=1<=>a=1` vì `(a>0)`

Vậy $Min_{M}=3$ `<=>a=1` 

`text{#Study Well}`