Lời giải:

a) Ta có:

$\triangle ABC$ đều $(gt)$

$\Rightarrow AB = BC = AC$

Ta lại có: $CB = CD\quad (gt)$

$\Rightarrow AC = CD$

Xét $\triangle ACD$ có:

$AC = CD\quad (cmt)$

Do đó $\triangle ACD$ cân tại $C$

b) Xét $\triangle ACD$ cân tại $C$ có:

$CH\perp AD\quad (gt)$

$\Rightarrow CH$ là đường cao

$\Rightarrow CH$ là trung tuyến

$\Rightarrow H$ là trung điểm $AD$

c) Xét $\triangle ABD$ có:

$H$ là trung điểm AD$ (câu b)

$C$ là trung điểm BD\quad (gt)$

$\Rightarrow HC$ là đường trung bình

$\Rightarrow HC//AB$

mà $HC\perp AD$

nên $AB\perp AD$

$\Rightarrow \triangle ABD$ vuông tại $A$

d) Xét $\triangle ABM$ và $\triangle PCM$ có:

$\begin{cases}MB = MC\quad (gt)\\\widehat{AMB} = \widehat{PMC} = 90^\circ\\\widehat{ABM} = \widehat{PCM}\quad \text{(so le trong)}\end{cases}$

Do đó $\triangle ABM = \triangle PCM\ (g.c.g)$

$\Rightarrow AM = PM$ (hai cạnh tương ứng)

Xét $\triangle APD$ có:

$PH$ là trung tuyến ứng với cạnh $AD$

$DM$ là trung tuyến ứng với cạnh $AP\ (AM = MP)$

$PH$ cắt $DM$ tại $C$

$\Rightarrow C$ là trọng tâm $\triangle APD$

a)

Ta có:

AC=BC (do tam giác ABC đều)

mà BC=CD(gt)
=> AC=CD

=> tam giác ACD cân

b)

Ta có:

 trong tam giác cân đg cao trùng với đg trung tuyến 

=>  H là trung điểm AD

c)

Vẽ đg cao CT cũng là TPG (do tam giác ABC đều)

Ta có: góc ACB=CAD+CDA(t/c góc ngoài của tam giác)

mà CAD=CDA

=>CAD=CDA=TCA=$\frac{ACB}{2}$ 

Xét tam giác CHA và CTA ta có:

góc ATC=AHC(=90 độ)

AC chung

góc TCA=CAD

=> tam giác CHA = CTA(ch-gn)

=> góc ACH=CAT(cạnh t/ứ)

=> AT//CH

mà CH vuông với AD

=> AT ⊥ AD(từ ⊥ => //)

=> tam giác ABD vuông

d) 

Ta có: AB=AC(do tam giác ABC đều)

và AT//CH (phần c) =>AB//PH =>góc BAM=MPC(so le)

Xét tam giác AMB và PCM ta có:

góc AMB=CMP=90 độ(đối đỉnh)

MB=MC(do M là trung điểm của BC)

góc BAM=MPC(cmt)

=>tam giác AMB = PCM(cgv-gnk)

=>AB=CP(cạnh t/ứ)

=>CP=AC => tam giác ACP cân

=> đg cao MC trùng với đg trung tuyến 

mà C e DM =>đg trung tuyến DM đi qua C

mà AH=HD và C thuộc PH

=> đg trung tuyến PH đi qua C

DO DM và PH là 2 đg trung tuyến đều đi qua C =>

C là trọng tâm Δ APD(đpcm)