Đáp án+Giải thích các bước giải:

Bài 1:

a) Xét ΔABD và ΔHBD có:

        $\hat{A}$ = $\hat{H}$ = $90^{o}$ 

        $\hat{B1}$ = $\hat{B2}$

        BD chung

⇒ ΔABD=ΔHBD (ch-gn)

⇒ AD=HD (2 cạnh tương ứng)

b) Xét ΔBCK có:

+ AC ⊥ BK nên AC là đường cao của ΔBCK.

+ KH ⊥ BC nên KH là đường cao của ΔBCK.

Mà AC, KH cắt nhau tại điểm D.

⇒ D là trực tâm của ΔBCK.

c) Xét ΔADK và ΔHDC có:

        $\hat{A}$ = $\hat{H}$ = $90^{o}$ 

         AD = HD (cm câu a)

         $\hat{D1}$ = $\hat{D2}$ (2 góc đối đỉnh)

⇒ ΔADK = ΔHDC (g-c-g)

⇒ DK=DC ( 2 cạnh tương ứng)

⇒ ΔDKC cân tại D.

d) Gọi giao điểm của BD và CK là I.

Ta có: AK+AD > KD ( theo BĐT tam giác) (1)

          KD>KI ( theo quan hệ đường vuông góc và đường xiên) (2)

Từ (1) và (2)⇒ AK+AD>KI

Mà KI= $\frac{1}{2}$KC

⇒ 2(AK+AD)>KC.

CHÚC BẠN HỌC TỐT! ~ 

#Xin hay nhat nha

~ Phan ~

Đáp án:

$\\$

Bài `4`

`a,`

Do `BD` là tia phân giác của `hat{B}`

`-> hat{ABD} = hat{HBD}`

Do `ΔABC` vuông tại `A`

`-> hat{BAD}=90^o`

Do `DH⊥BC`

`-> hat{BHD}=90^o`

Xét `ΔABD` và `ΔHBD` có :

\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat{BAD}=\widehat{BHD}=90^o\\ \text{BD chung}\\ \widehat{ABD}=\widehat{HBD} \text{(chứng minh trên)}\end{array} \right.\)

`-> ΔABD = ΔHBD` (cạnh huyền - góc nhọn)

`-> AD=HD` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

`b,`

Có : `DH⊥BC`

`-> KH⊥BC`

`-> KH` là đường cao của `ΔBKC`

Có : `ΔABC` vuông tại `A`

`-> AB⊥AC`

`-> AC⊥BK`

`-> AC` là đường cao của `ΔBKC`

Xét `ΔBKC` có :

`KH` là đờng cao 

`CA` là đường cao

`KH` cắt `CA` tại `D`

`-> D` là trực tâm của `ΔBKC`

$\\$

`c,`

Xét `ΔADK` và `ΔHDC` có :

\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat{KAD}=\widehat{CHD}=90^o\\ \text{AD=HD (chứng minh trên)}\\ \widehat{ADK}=\widehat{HDC} \text{(2 góc đối đỉnh)}\end{array} \right.\)

`-> ΔADK = ΔHDC` (góc - cạnh - góc)

`-> DK=DC` (2 cạnh tương ứng)

`-> ΔDKC` cân tại `D`

$\\$

`d,`

Do `ΔADK = ΔHDC` (chứng minh trên)

`-> AK=HC` (2 cạnh tương ứng)

Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔADK` có :

`AD + AK > KD` `(1)`

Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔDHC` có :

`DH + HC > DC` `(2)`

Đem `(1) + (2)` vế với vế ta được :

`↔ AD + AK + DH + HC > KD + DC`

mà `AK=HC` (chứng minh trên), `AD=DH` (chứng minh trên)

`-> AK + AD + AK + AD > KD + DC`

`-> 2AK + 2AD > KD + DC`

`-> 2 (AK + AD) > KD + DC` `(3)`

Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔKDC` có :

`KD + DC > KC` `(4)`

Từ `(3), (4)`

`->2 (AK + AD) > KD + DC > KC`

`-> 2 (AK + AD) > KC`

$\\$

$\\$

Bài `5`

$\bullet$ `A = 2^{2018}/(2^{2018} + 3^{2019}) + 3^{2019}/(3^{2019} + 5^{2020}) + 5^{2020}/(5^{2020} + 2^{2018})`

Vì : \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2^{2018} }{2^{2018} + 3^{2019} } > \dfrac{2^{2018} }{2^{2018} + 3^{2019} + 5^{2020} }\\ \dfrac{3^{2019} }{3^{2019} + 5^{2020} } > \dfrac{3^{2019} }{2^{2018} + 3^{2019} + 5^{2020} }\\  \dfrac{5^{2020} }{5^{2020} + 2^{2018} } > \dfrac{5^{2020} }{2^{2018} + 3^{2019} + 5^{2020} }\end{array} \right.\)

Cộng theo vế ta được :

`↔ A > 2^{2018}/(2^{2018} + 3^{2019} + 5^{2020} )+ 3^{2019}/(2^{2018} + 3^{2019} + 5^{2020} ) + 5^{2020}/(2^{2018} + 3^{2019} + 5^{2020} )`

`↔ A > (2^{2018} + 3^{2019} + 5^{2020})/(2^{2018} + 3^{2019} + 5^{2020})`

`↔ A > 1` `(1)`

$\bullet$ `B = 1/(1×2) + 1/(3×4) + 1/(5×6) + ... + 1/(99×100)`

Vì : \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{3×4} <\dfrac{1}{2×3}\\ \dfrac{1}{4×5} < \dfrac{1}{3×4}\\..............\\ \dfrac{1}{99×100} < \dfrac{1}{98 ×99}\end{array} \right.\)

`↔ B < 1/(1×2) + 1/(2×3) + 1/(3×4) + ... + 1/(98 ×99)`

`↔ B < 1 -1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/98 - 1/99`

`↔B < 1 + (-1/2 + 1/2) + (-1/3 + 1/4) + ... + (-1/98 + 1/98) - 1/99`

`↔ B < 1 - 1/99`

Ta thấy : `1 - 1/99 < 1`

`↔ B < 1 - 1/99 < 1`

`↔B < 1` `(2)`

Từ `(1), (2)`

`-> B < 1 < A`

`-> B < A`

Vậy `B < A`