Đáp án:

5/ $P(Min)=-\dfrac{25}{4}$ khi `x=±\sqrt{\frac{1}{2}}`

Giải thích các bước giải:

Câu 4:

a/ Xét $ΔMAB$ và $ΔMDC$

Có: $AM=MD$ (giả thiết)

$\widehat{AMB}=\widehat{DMC}$ (đối đỉnh)

$MB=MC$ (giả thiết)

$⇒ ΔMAB=ΔMDC$ $(c-g-c)$

$⇒ \widehat{MAB}=\widehat{MDC}$

và ở vị trí so le trong

$⇒ AB // CD$

b/ $ΔABC$ vuông tại $A$ có $AM$ là đường trung tuyến

$⇒ AM=BM=CM$

$⇒ ΔMAC$ cân tại $M$ và $ΔMAB$ cân tại $M$

$⇒ \begin{cases}\widehat{MCA}=\widehat{MAC}\\\widehat{MBA}=\widehat{MAB}\end{cases}$

$⇒ \widehat{MCA}+\widehat{MBA}=\widehat{MAC}+\widehat{MAB}=\widehat{BAC}=90^0$

Mà $\widehat{MBA}=\widehat{MCD}$ ($ΔMAB=ΔMDC$; câu $a$)

nên $\widehat{DCK}= \widehat{MCA}+\widehat{MCD}=90^0$

Xét $ΔABK$ và $ΔCDK$

Có: $AK=CK$ (giả thiết)

$\widehat{BAK}=\widehat{DCK}$ $(=90^0)$

$AB=CD$ (câu $a$)

$⇒ ΔABK=ΔCDK$ $(c-g-c)$

$⇒ BK=DK$

$⇒ ΔBDK$ cân tại $K$

c/ $ΔACD$ có $2$ trung tuyến $CM$ và $DK$ cắt nhau tại $O$

$⇒ O$ là trọng tâm $ΔACD$

$⇒ CO=\dfrac{2}{3}.CM$

d/ Ta có: $MB=MD$ và $KB=KD$

$⇒ KM$ là đường trung trực đoạn $DB$

$⇒ KM ⊥ BD$ $(3)$

Mặt khác: $ΔABC$ có $AM, BK$ là các đường trung tuyến cắt nhau tại $N$

$⇒ N$ là trọng tâm $ΔABC$

$⇒ \dfrac{BN}{BK}=\dfrac{2}{3}$ $(1)$

Từ câu $c$ có $O$ là trọng tâm $ΔACD$

$⇒ \dfrac{OD}{DK}=\dfrac{2}{3}$ $(2)$

Từ $(1), (2)$ suy ra: $\dfrac{BN}{BK}=\dfrac{OD}{DK}$

$⇒ ON // BD$ $(4)$

Từ $(3), (4)$ suy ra: $KM ⊥ ON$

Câu 5: $P=(x^2-3)(x^2+2)$

Đặt $a=x^2$ $(a \geq 0)$

Khi đó, `P=(a-3)(a+2)=a^2-a-6=(a-\frac{1}{2})^2-\frac{25}{4} \geq -\frac{25}{4}`

Dấu $"="$ xảy ra khi: $a= \dfrac{1}{2} ⇔$ `x=±\sqrt{\frac{1}{2}}`

Vậy $P(Min)=-\dfrac{25}{4}$ khi `x=±\sqrt{\frac{1}{2}}`

Đáp án:

$\\$

Bài `4.`

`a,`

Có : `AM` là đường trung tuyến

`-> M` là trung điểm của `BC`

`-> BM=CM`

Có : `M` là trung điểm của `AD`

`-> AM=DM`

Xét `ΔMAB` và `ΔMDC` có :

`AM=DM` (cmt)

`BM=CM` (cmt)

`hat{AMB}=hat{DMC}` (2 góc đối đỉnh)

`-> ΔMAB = ΔMDC` (cạnh - góc - cạnh)

`-> hat{MAB}=hat{MDC}` (2 góc tương ứng)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong

$→ AB//DC$

`b,`

Có : `K` là trung điểm của `AC`

`-> AK = CK`

Do `ΔMAB = ΔMDC` (cmt)

`-> AB=DC` (2 cạnh tương ứng)

Có : $AB//DC$ (cmt)

mà `AB⊥AC` (gt)

`-> DC⊥AC`

Xét `ΔABK` và `ΔCDK` có :

`hat{BAK}=hat{DCK}=90^o` (`AB⊥AC,DC⊥AC`)

`AB=DC` (cmt)

`AK=CK` (cmt)

`-> ΔABK = ΔCDK` (cạnh - góc - cạnh)

`-> BK=DK` (2 cạnh tương ứng)

`-> ΔBKD` cân tại `K`

`c,`

Có : `M` là trung điểm của`AD`

`-> CM` là đường trung tuyến của `ΔADC`

Có : `K` là trung điểm của `AC`

`-> DK` là đường trung tuyến của `ΔADC`

Xét `ΔADC` có :

`CM` là đường trung tuyến

`DK` là đường trung tuyến

`CM` cắt `DK` tại `O`

`-> O` là trọng tâm của `ΔADC`

`-> CO = 2/3 CM`

`d,`

Do `ΔABK = ΔCDK` (cmt)

`-> hat{AKB}=hat{CKD}` (2 góc tương ứng)

hay `hat{AKN}=hat{CKO}`

Xét `ΔABC` vuông tại `A` có :

`AM` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền `BC`

`-> AM=1/2BC`

mà `CM=1/2BC` (Do `M` là trung điểm của `BC`)

`-> AM=CM (=1/2BC)`

`-> ΔAMC` cân tại `M`

`-> hat{MAK}=hat{MCK}`

hay `hat{NAK}=hat{OCK}`

Xét `ΔANK` và `ΔCOK` có :

`AK=CK` (cmt)

`hat{NAK}=hat{OCK}` (cmt)

`hat{AKN}=hat{CKI}` (cmt)

`-> ΔANK = ΔCOK` (góc - cạnh - góc)

`-> NK=OK` (2 cạnh tương ứng)

và `AN=CO` (2 cạnh tương ứng)

Có : `NK=OK` (cmt)

`-> K` nằm trên đường trung trực của `NO` `(1)`

Có : `MN = AM - AN, MO = CM - CO`

mà `AN=CO` (cmt), `AM=CM` (cmt)

`-> MN=MO`

`-> M` nằm trên đường trung trực của `NO` `(2)`

Từ `(1), (2)`

`-> MK` là đường trung trực của `NO`

`-> MK⊥NO`

$\\$

Bài `5.`

`P = (x^2-3) (x^2+2)`

`⇔ P = x^2 (x^2+2) - 3 (x^2+2)`

`⇔ P = x^4 + 2x^2 - 3x^2 - 6`

`⇔ P = x^4 - x^2 - 6`

`⇔P = (x^2)^2 - 2 . 1/2 x^2 + 1/4 - 25/4`

`⇔ P = (x^2)^2 - 2 . 1/2x^2 + (1/2)^2 - 25/4`

`⇔ P = (x^2 - 1/2)^2 - 25/4`

Với mọi `x` có : `(x^2-1/2)^2 ≥ 0`

`⇔ (x^2 - 1/2)^2 - 25/4 ≥ (-25)/4`

`⇔ P ≥ (-25)/4`

`⇔ min P=(-25)/4`

Dấu "`=`" xảy ra khi :

`⇔ (x^2-1/2)^2=0`

`⇔x^2-1/2=0`

`⇔x^2=1/2`

`⇔x^2 = (±\sqrt{1/2})^2`

`⇔ x = ±\sqrt{1/2}`

Vậy `min P = (-25)/4 ⇔ x = ±\sqrt{1/2}`