Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Xét $\triangle ABH$ và $\triangle CAH$ có:

$\begin{cases}\widehat{AHB} = \widehat{CHA} = 90^\circ\\\widehat{HAB} = \widehat{HCA}\quad \text{(cùng phụ $\widehat{HAC}$)\end{cases}$

Do đó $\triangle ABH\backsim \triangle CAH\ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{P_{ABH}}{P_{CAH}} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{30}{40} = \dfrac34$

Đặt $AB = 3x;\ AC = 4x\quad (x >0)$

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$\quad BC^2 = AB^2 + AC^2$

$\Rightarrow BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{9x^2 + 16x^2} = 5x$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle ABC$ đường cao $AH$ ta được:

$\quad AB.AC = AH.BC$

$\Rightarrow AH = \dfrac{AB.AC}{BC} = \dfrac{3x.4x}{5x} = \dfrac{12x}{5}$

Ta có:

$P_{ABH} = AB + HB + AH = 30\ cm$

$P_{ACH} = AC + HC + AH = 40\ cm$

$\Rightarrow P_{ABH} + P_{ACH} = AB + AC + (HB + HC) + 2AH = 70$

$\Leftrightarrow AB + AC + BC + 2AH = 70$

$\Leftrightarrow 3x + 4x + 5x + \dfrac{24x}{5} = 70$

$\Leftrightarrow \dfrac{84x}{5} = 70$

$\Leftrightarrow x = \dfrac{25}{6}$

$\Rightarrow \begin{cases}AB = \dfrac{25}{2}\ cm\\AC = \dfrac{50}{3}\ cm\\AH = 10\ cm\end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases}HB = 30 - \dfrac{25}{2} - 10 = \dfrac{15}{2}\\HC = 40 - \dfrac{50}{3} - 10 = \dfrac{40}{3}\\P_{ABC} = 70 - 2.10 = 50\end{cases}$