.......

Đáp án + giải thích các bước giải:

1/ `1/2 =x/(2x)=(x-1+1)/(2x)`

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

`(x-1)+1>=2\sqrt{(x-1).1}=2\sqrt{x-1}`

`-> (x-1+1)/(2x)>=(2\sqrt{x-1})/(2x)=\sqrt{x-1}/x` 

Dấu bằng xảy ra khi `x=2` 

2/ `c∈ZZ^{+}`

`->c>0`

`->a+b<a+b+c`

`->a/(a+b)>a/(a+b+c)`

3/ 

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

`a+b>=2\sqrt{ab}`

`1/a+1/b>=2\sqrt{1/(ab)}`

`->(a+b)(1/a+1/b)>=2\sqrt{ab} . 2\sqrt{1/(ab)}=4`

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

`a+b+c>=3\root{3}{abc}`

`1/a+1/b+1/c>=3\root{1/(abc}}`

`->(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=3\root{3}{abc}.3\root{3}{1/(abc)}=9`

Dấu bằng xảy ra khi `a=b`

4/ 

Ta có: `(a-b)^2>=0`

`->a^2-2ab+b^2>=0`

`->a^2+b^2>=2ab`

`->a^2+2ab+b^2>=4ab`

`->(a+b)^2>=4ab`

`->a+b>=(4ab)/(a+b)`

`->(a+b)/2>=(2ab)/(a+b) `

Lại có: `(a+b)^2>=4ab`

`->4/(a+b)^2<=4/(4ab)=1/(ab) `

Dấu bằng xảy ra khi `a=b`

5/ Ta có: `(a-b)^2>=0`

`->a^2+b^2-2ab>=0`

`->a^2+b^2>=2ab`

`->2(a^2+b^2)>=a^2+2ab+b^2`

`->2(a^2+b^2)>=(a+b)^2`

`->(a^2+b^2)/2>=(a+b)^2/4`

`->(a^2+b^2)/2>=((a+b)/2)^2`

Dấu bằng xảy ra khi `a=b`

Với `a<0`, bất đẳng thức `a/(1+a^2)<=1/2` luôn đúng

Với `a>=0`, áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

`a^2+1>=+2\sqrt{a^2 .1}=2a`

`->a/(a^2+1)<=a/(2a)=1/2`

Dấu bằng xảy ra khi `a=1`