Lời giải.

`a)` Xét `ΔABC` cân tại `A` có đường cao `AH`

`=>AH` đồng thời là đường trung tuyến của `ΔABC`

`<=>H` là trung điểm của `BC.`

Xét `ΔCBD` có:

$AH//BD$ (vì `AH⊥BC,BD⊥BC`)

`H` là trung điểm của `BC` `(1)`

`=>A` là trung điểm của `CD` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` suy ra `AH` là đường trung bình của `ΔCBD`

`<=>AH=1/2BD`

`<=>BD=2AH.`

Vậy `BD=2AH.`

`b)` Xét  `ΔBCD` vuông tại `B` có đường cao `BK`, ta suy ra

`S_{ΔBCD}=1/2 . BK.CD= 1/2 . BC . DB`

(Lưu ý <đọc thêm để hiểu>: Diện tích tam giác vuông có thể tính theo hai cách:

+) `1/2` tích của đường cao nhân cạnh huyền

+) `1/2` tích của hai cạnh góc vuông)

`=>BK.CD=AB.AC`

Lại có: `ΔBCD` vuông tại `B` nên theo định lí $Pi-ta-go$ ta có:

`BC^2+BD^2=CD^2`

`<=>BK^2 . (BC^2+BD^2)= BK^2 . CD^2 = (BK.CD)^2`

`<=>BK^2 . (BC^2+BD^2)=(BC.DB)^2`

`<=>BK^2 . (BC^2 + BD^2) = BC^2 . BD^2`

Chia cả hai vế cho `BC^2+BD^2` ta được:

`BK^2 = {BC^2 . BD^2}/{BC^2 + BD^2}`

`<=>1/{BK^2}= {BC^2 + BD^2}/{BC^2 . BD^2}`

`<=>1/{BK^2}= {BC^2 }/{BC^2 . BD^2}+{BD^2 }/{BC^2 . BD^2}`

`<=>1/{BK^2}= {1}/{BD^2}+{1 }/{BC^2}`

Mà `BD=2AH` nên ta thay vào biểu thức trên ta được:

`1/{BK^2}= {1}/{(2AH)^2}+{1 }/{BC^2}`

`<=>1/{BK^2}= {1}/{4HA^2}+{1 }/{BC^2}.`

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Chú ý: bên trên là cách chứng minh `ΔΔBCD` vuông tại `B` có đường cao `BK=>1/{BK^2}= {1}/{BD^2}+{1 }/{BC^2}`. Khi học, ta sẽ gọi là hệ thức lượng và không cần chứng minh lại (khi học xong).

Hình vẽ.