`a)`

Vì `ABCD` là hình chữ nhật

`⇒AD``/``/``BC(` tính chất hình chữ nhật `)`

`⇒hat{D_1}=hat{B_1}(2` góc so le trong `)`

Xét `ΔHAD` và `ΔCDB` có:

    `hat{D_1}=hat{B_1}(cmt)`

    `hat{AHD}=hat{DCB}=90^o`

`⇒ΔHAD`$\sim$`ΔCDB(g.g)(đpcm)`

`b)`

Vì `ABCD` là hình chữ nhật

`⇒AD=BC=9cm(` tính chất hình chữ nhật `)`

    `CD=AB=12cm(` tính chất hình chữ nhật `)`

Áp dụng định lý Py-ta-go vào `Δ` vuông `BCD` ta có:

                      `BD²=BC²+CD²`

                      `BD²=9²+12²`

                      `BD²=81+144`

                      `BD²=225`

                      `BD=`$\sqrt[]{225}$ 

                      `BD=15(cm)`

Theo câu `a)ΔHAD`$\sim$`ΔCDB(g.g)`

`⇒(AH)/(DC)=(AD)/(DB)`

`⇒(AH)/12=9/15`

`⇒AH=(12.9)/15`

`⇒AH=7,2(cm)`

`c)`

Xét `ΔAHD` có:

`AN=NH(g``t)`

`DP=PH(g``t)`

`⇒NP` là đường trung bình của `ΔAHD`

`⇒NP``/``/``AD` và `NP=1/2AD`

Vì `AD``/``/``BC(cmt)`

Hay `AD``/``/``BM`

Ta có: `NP``/``/``AD(cmt)`

          `AD``/``/``BM(cmt)`

`⇒NP``/``/``BM`

Ta có:`NP=1/2AD(cmt)`

          `BM=1/2BC(g``t)`

          `AD=BC(cmt)`

`⇒NP=BM`

Xét tứ giác `BMPN` có:

    `NP=BM(cmt)`

    `NP``/``/``BM(cmt)`

`⇒` tứ giác `BMPN` là hình bình hành `(` tứ giác có `2` cạnh đối diện song song và bằng nhau là hình bình hành `)`

a)Xét 2 tam giác AHB và ADB có:

Góc AHB = Góc DAB (= 90 độ)

Góc ABD chung
=> 2 tam giác đồng dạng với nhau theo trường hợp góc - góc. (1)

Xét 2 tam giác ADB và BDC có:

Góc C = Góc A (= 90 độ)

Góc ABD = Góc BDC (slt)

=> 2 tam giác đồng dạng với nhau theo trường hợp góc - góc. (2)

Từ (1) và (2) => Tam giác AHB đồng dạng tam giác BDC (tính chất bắc cầu)

 b)Xét 2 tam giác AHD và ADB ta có:

Góc AHD = Góc DAB (= 90 độ)

Góc ADB chung

=> 2 tam giác đồng dạng với nhau theo trường hợp góc - góc.

=> AH/AD = AB/DB

<=> AH/9 = 12/15

<=> 15AH = 9.12

<=> 15AH = 108

=> AH = 7,2 cm