Đáp án + giải thích các bước giải:

Với `(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)<0`

`(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)<=xyz` là bất đẳng thức hiển nhiên đúng

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: 

`x^3+y^3+z^3>=3xyz`

`->x^3+y^3+z^3+xyz>=4xyz`

`->(x^3+y^3+z^3+xyz)(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)<=4x^2y^2z^2 `

Với `(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)>=0`

Đặt `(a;b;c)=(x+y-z;y+z-x;z+x-y)`

`->(x;y;z)=((a+c)/2;(a+b)/2;(b+c)/2) `

Ta cần chứng minh:

`4 ((a+c)/2)^2 ((a+b)/2)^2 ((b+c)/2)^2>=[((a+c)/2)^3+((a+b)/2)^3+((b+c)/2)^3+(a+c)/2 (a+b)/2 (b+c)/2]abc`

`->[(a+b)(b+c)(c+a)]^2>=16abc ((a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3+(a+b)(b+c)(c+a))/8`

`->[(a+b)(b+c)(c+a)]^2>=16abc (2(a^3+b^3+c^3)+4ab(a+b)+4bc(b+c)+4ca(c+a)+2abc)/8`

`->[(a+b)(b+c)(c+a)]^2>=4abc[a^3+b^3+c^3+2ab(a+b)+2bc(b+c)+2ca(c+a)+abc]`

Với kĩ thuật đổi biến `p;q;r`, ta cần chứng minh:

`(pq-r)^2>=4r[p^3-3pq+r+2(pq-3r)+r]`

`->p^2q^2+2pqr-4p^3r+9r^2>=0`

`->(p^2q^2+18pqr-27r^2-4q^3-4p^3r)+4(q^3+9r^2-4pqr)>=0`

Dễ thấy tổng hai số bất kì trong ba số `a,b,c` là một số dương, vậy nên không xảy ra trường hợp hai trong ba số `a,b,c` là số âm. Chỉ có thể xảy ra trường hợp cả ba đều không âm. `(a;b;c>=0)`

Theo bất đẳng thức Schur, ta có: 

`(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3+3(abc)^2>=ab^2c(ab+bc)+bc^2a(bc+ca)+ca^2b(ca+ab)`

`->(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3+3(abc)^2>=abc(ab^2+cb^2+bc^2+ac^2+ba^2+ca^2)`

Với kĩ thuật đổi biến `p;q;r`, ta có:

`q^3-3pqr+3r^2+3r^2>=r(pq-3r)`

`->q^3-4pqr+9r^2>=0 `

mà cũng với kĩ thuật đổi biến `p;q;r`, ta có:

`p^2q^2+18pqr-27r^2-4q^3-4p^3r=[(a-b)(b-c)(c-a)]^2>=0 `

Vậy `(p^2q^2+18pqr-27r^2-4q^3-4p^3r)+4(q^3+9r^2-4pqr)>=0`

`->đpcm`

Dấu bằng xảy ra khi `x=y=z`