Câu `3:` (hình bên dưới)

`a)` Xét `ΔAHN` và `ΔABH` có:

`hat{BAH}` là góc chung

`hat{ANH}=hat{AHB}=90^0`

`=>ΔAHN~ΔABH(g.g)`

`=>{AH}/{AB}={AN}/{AH}`

`=>AH^2=AN.AB` `(1)`

Hoàn toàn tương tự: `ΔAMH~ΔAHC(g.g)=>AM.AC=AH^2.` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)=>AN.AB=AM.AC`. Lại có: `hat{BAC}` chung

`=>ΔAMN~ΔACB(c.g.c)`

Vậy `ΔAMN~ΔACB.`

 `b)` Xét `ΔAHB` vuông tại `H` nên theo định lí $Pitago$ ta có:

`AH^2+BH^2=AB^2`

Thay số: `12^2+BH^2=15^2`

`=>BH^2=15^2-12^2=225-144=81`

`=>BH=9.` 

Xét `ΔAHC` vuông tại `H` nên theo định lí $Pitago$ ta có:

`AH^2+CH^2=AC^2`

Thay số: `12^2+CH^2=13^2`

`=>CH^2=13^2-12^2=169-144=25`

`=>CH=5.` 

Ta có: `BC=BH+CH=9+5=14`

Vậy `BC=14cm.`

Câu 4:

Ta có bất đẳng thức phụ với `x,y>0` thì `1/x+1/y≥4/{x+y}` `(1)`

(Có thể chứng minh bằng cách biến đổi tương đương).

Ta có: `p-a={b+c-a}/2>0,p-b={c+a-b}/2>0,p-c={a+b-c}/2>0`

Áp dụng bất đẳng thức `(1)` với các số dương sau ta được:

`1/{p-a}+1/{p-b}≥4/{p-a+p-b}=4/{2p-a-b}=4/{a+b+c-a-b}=4/c`

Tương tự: `1/{p-b}+1/{p-c}≥4/a; 1/{p-c}+1/{p-a}≥4/b`

Cộng vế `2(1/{p-a}+1/{p-b}+1/{p-c})≥4(1/a+1/b+1/c)`

`<=>1/{p-a}+1/{p-b}+1/{p-c}≥2(1/a+1/b+1/c)`

Dấu "=" xảy ra khi `a=b=c<=>ΔABC` đều.