Giải thích các bước giải:

Bài 1:

1.Xét $\Delta AMB,\Delta AMC$ có:

Chung $AM$

$AB=AC$

$MB=MC$

$\to\Delta AMB=\Delta AMC(c.c.c)$

$\to \widehat{AMB}=\widehat{AMC}$

Mà $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^o$

$\to \widehat{AMB}=\widehat{AMC}=90^o$

$\to AM\perp BC$

Vì $M$ là trung điểm $BC\to MB=MC=\dfrac12BC=6$

$\to AM^2=AB^2-BM^2=64$

$\to AM=8$

2.Từ câu a $\to \widehat{BAM}=\widehat{CAM}$

$\to \widehat{EAM}=\widehat{FAM}$

Xét $\Delta AME,\Delta AMF$ có:

$\widehat{AEM}=\widehat{AFM}(=90^o)$

Chung $AM$

$ \widehat{EAM}=\widehat{FAM}$

$\to\Delta AEM=\Delta AFM$ (cạnh huyền-góc nhọn)

$\to ME=MF$

Xét $\Delta MEB,\Delta MFC$ có:

$MB=MC$

$\widehat{MEB}=\widehat{MFC}(=90^o)$

$ME=MF$

$\to \Delta MEB=\Delta MFC$(cạnh huyền-góc nhọn)

3.Từ câu b $\to AE=AF, ME=MF$

$\to A, M\in$ trung trực của $EF$

$\to AM$ là trung trực $EF$

4.Ta có $AM$ là trung trực $EF$

$\to AM\perp EF$

Mà $AM\perp BC$

$\to EF//BC$

5.Trên tia đối của tia $OE$ lấy $E'$ sao cho $OE=OE'$

Xét $\Delta OAE', \Delta OEM$ có:

$OA=OM$

$\widehat{AOE'}=\widehat{EOM}$

$OE=OE'$

$\to\Delta OAE'=\Delta OEM(c.g.c)$

$\to AE'=EM, \widehat{OAE'}=\widehat{OME}\to AE'//ME$

Mà $ME\perp AE\to AE'\perp AE$

$\to EE'^2=AE'^2+AE^2=EM^2+AE^2=AM^2$

$\to EE'=AM$

$\to OE=OE'=\dfrac12EE'=\dfrac12AM=OA=OM$

$\to OE=OA=OM$

Tương tự chứng minh được $OF=OA=OM$

$\to OA=OM=OE=OF$

$\to A, E, M, F$ cùng thuộc đường tròn tâm $O$ bán kính $AO$

6.Ta có: $DB\perp AB, CD\perp AC$

$\to DB^2=AD^2-AB^2=AD^2-AC^2=CD^2$

$\to DB=DC$

Mà $AB=AC, MB=MC$

$\to A, M, D\in$ trung trực của $BC$

$\to A, M, D$ thẳng hàng

7.Vì $A, M, D$ thẳng hàng $, AM\perp BC\to BM\perp MD$

Ta có $ME\perp AB, BM\perp MD$

$\to ME<MB<BD$

$\to ME<BD$

Bài 2:

a.Ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\to BC^2=AB^2+AC^2$

$\to AC^2=BC^2-AB^2=27$

$\to AC=3\sqrt{3}$

b.Ta có $CA\perp BD$ tại $A$ mà $AB=AD$

$\to \Delta CBD$ có đường cao đồng thời là trung tuyến

$\to\Delta CBD$ cân

Mà $\Delta ABC$ vuông tại $A, AB=\dfrac12BC$

$\to\Delta ABC$ là nửa tam giác đều

$\to \hat B=60^o$

$\to\Delta BCD$ đều