Đáp án:

$23)\quad B.\ \dfrac{a^3\sqrt2}{3}$

$24)\quad B.\ \dfrac{a^3\sqrt2}{3}$

$25)\quad A.\ \dfrac{a^3\sqrt3}{60}$

Giải thích các bước giải:

Câu 23:

$\triangle ABC$ vuông cân tại $B$ có:

$AC = 2a$

$\Rightarrow AB = BC = a\sqrt2$

$\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac12\cdot \left(a\sqrt2\right)^2 = a^2$

Gọi $M$ là trung điểm $AC$

$\Rightarrow \begin{cases}MA = MB = MC =\dfrac12AC = a\\BM\perp AC\end{cases}$

Ta có:

$\begin{cases}BM\perp AC\\SA\perp BM\quad (SA\perp (ABC))\end{cases}$

$\Rightarrow BM\perp (SAC)$

$\Rightarrow SM$ là hình chiếu của $SB$ lên $(SAC)$

$\Rightarrow \widehat{(SB;(SAC))}=\widehat{BSM}= 30^\circ$

$\Rightarrow SB = \dfrac{BM}{\sin30^\circ}=\dfrac{a}{\dfrac12}=2a$

$\Rightarrow SA =\sqrt{SB^2 - AB^2}=\sqrt{4a^2 - 2a^2}= a\sqrt2$

Khi đó:

$V_{S.ABC}=\dfrac13S_{ABC}.SA =\dfrac13\cdot a^2\cdot a\sqrt2 = \dfrac{a^3\sqrt2}{3}$

Câu 24:

Ta có:

$\begin{cases}(SAB)\perp (ABCD)\\(SAC)\perp (ABCD)\\(SAB)\cap (SAC)= SA\end{cases}$

$\Rightarrow SA\perp (ABCD)$

$\Rightarrow SA\perp CD$

mà $CD\perp AD$

nên $CD\perp (SAD)$

$\Rightarrow SD$ là hình chiếu của $SC$ lên $(SAD)$

$\Rightarrow \widehat{(SC;(SAD))}=\widehat{CSD}= 30^\circ$

$\Rightarrow SD = \dfrac{CD}{\tan30^\circ}=\dfrac{a}{\dfrac{1}{\sqrt3}}= a\sqrt3$

$\Rightarrow SA=\sqrt{SD^2 - AD^2}=\sqrt{3a^2 - a^2}=a\sqrt2$

Khi đó:

$V_{S.ABCD}=\dfrac13S_{ABCD}.SA = \dfrac13\cdot a^2\cdot a\sqrt2 = \dfrac{a^3\sqrt2}{3}$

Câu 25:

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$\Rightarrow BC =\sqrt{AC^2 - AB^2}=\sqrt{4a^2 - a^2}=a\sqrt3$

$\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac12AB.BC =\dfrac12\cdot a\cdot a\sqrt3 =\dfrac{a^2\sqrt3}{2}$

$\Rightarrow V_{S.ABC}=\dfrac13S_{ABC}.SA =\dfrac13\cdot \dfrac{a^2\sqrt3}{2}\cdot a = \dfrac{a^3\sqrt3}{6}$

Ta có: $AH\subset (P)$

$\Rightarrow AH\perp SC$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

$\dfrac{SH}{SC}=\dfrac{\dfrac{SA^2}{SC}}{SC}=\dfrac{SA^2}{SC^2}$

$\Rightarrow \dfrac{SH}{SC}=\dfrac{SA^2}{SA^2 + AC^2}=\dfrac{a^2}{a^2 + 4a^2}=\dfrac15$

Ta có:

$\begin{cases}BC\perp AB\quad (gt)\\SA\perp BC\quad (SA\perp (ABC))\end{cases}$

$\Rightarrow BC\perp (SAB)$

$\Rightarrow BC\perp AK$

mà $AK\perp SC\quad (AK\subset (P))$

nên $AK\perp (SBC)$

$\Rightarrow AK\perp SB$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

$\dfrac{SK}{SB}=\dfrac{\dfrac{SA^2}{SB}}{SB}=\dfrac{SA^2}{SB^2}$

$\Rightarrow \dfrac{SK}{SB}=\dfrac{SA^2}{SA^2 + AB^2}=\dfrac{a^2}{a^2 + a^2}=\dfrac12$

Khi đó:

$\dfrac{V_{S.AHK}}{V_{S.ABC}}=\dfrac{SH}{SC}\cdot \dfrac{SK}{SB}=\dfrac15\cdot \dfrac12 =\dfrac{1}{10}$

$\Rightarrow V_{S.AHK}=\dfrac{1}{10}V_{S.ABC}=\dfrac{1}{10}\cdot \dfrac{a^3\sqrt3}{6} =\dfrac{a^3\sqrt3}{60}$