Đáp án:

a) \(\Delta t = s.\dfrac{{{{\left( {v - u} \right)}^2}}}{{2uv\left( {u + v} \right)}}\)

b) \(s.\dfrac{{{{\left( {v - u} \right)}^2}}}{{2v\left( {u + v} \right)}}\)

Giải thích các bước giải:

a) Thời gian xe 1 đi là:

\({t_1} = \dfrac{s}{{2v}} + \dfrac{s}{{2u}} = \dfrac{{s\left( {v + u} \right)}}{{2uv}}\)

Thời gian xe 2 đi là:

\(s = v.\dfrac{{{t_2}}}{2} + u.\dfrac{{{t_2}}}{2} \Rightarrow {t_2} = \dfrac{{2s}}{{v + u}}\)

Theo BĐT Cô si:

\(\begin{array}{l}
{\left( {v + u} \right)^2} \ge 4uv\\
 \Rightarrow \dfrac{{v + u}}{{2uv}} \ge \dfrac{2}{{v + u}}\\
 \Rightarrow s.\dfrac{{v + u}}{{2uv}} \ge s.\dfrac{2}{{v + u}}\\
 \Rightarrow {t_1} \ge {t_2}
\end{array}\)

Vậy xe 2 đến B trước xe 1.

Thời gian đến trước là:

\(\begin{array}{l}
\Delta t = {t_1} - {t_2} = \dfrac{{s\left( {v + u} \right)}}{{2uv}} - \dfrac{{2s}}{{v + u}}\\
 \Rightarrow \Delta t = s\dfrac{{{{\left( {v + u} \right)}^2} - 4uv}}{{2uv\left( {v + u} \right)}}\\
 \Rightarrow \Delta t = s.\dfrac{{{{\left( {v - u} \right)}^2}}}{{2uv\left( {u + v} \right)}}
\end{array}\)

b) Khoảng cách giữa 2 xe là:

\(\Delta s = \Delta t.u = s.\dfrac{{{{\left( {v - u} \right)}^2}}}{{2v\left( {u + v} \right)}}\)