Đáp án:

$\\$

`a,`

Xét `ΔAHB` và `ΔAHC` có :

`hat{AHB} = hat{AHC} = 90^o`

`AH` chung

`AB=AC` (Do `ΔABC` cân tại `A`)

`-> ΔAHB = ΔAHC` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

$\\$

$\\$

`b,`

Do `ΔAHB = ΔAHC` (chứng minh trên)

`-> hat{BAH} = hat{CAH}` (2 góc tương ứng)

hay `hat{DAH} = hat{CAH}`

Do $HD//AC$

`-> hat{DHA} = hat{CAH}` (2 góc so le trong)

mà `hat{DAH} = hat{CAH}` (chứng minh trên)

`-> hat{DHA} = hat{DAH} (=hat{CAH})`

`-> ΔAHD` cân tại `D`

`-> AD = DH`

$\\$

$\\$

`c,`

Có : `E` là trung điểm của `AC`

`-> BE` là đường trung tuyến của `ΔABC`

Do `ΔAHB = ΔAHC` (chứng minh trên)

`-> BH = CH` (2 cạnh tương ứng)

`-> H` là trung điểm của `BC`

`-> AH` là đường trung tuyến của `ΔABC`

Do `ΔABC` cân tại `A`

`-> hat{B} = hat{C}`

Do $HD//AC$

`-> hat{DHB} = hat{C}` (2 góc đồng vị)

mà `hat{B}=hat{C}` (chứng minh trên)

`-> hat{DHB} = hat{B} (= hat{C})`

`-> ΔBDH` cân tại `D`

`-> BD = DH`

mà `AD = DH` (chứng minh trên)

`-> AD = BD (= DH)`

`-> D` là trung điểm của `AB`

`-> CD` là đường trung tuyến của `ΔABC`

Xét `ΔABC` có :

`AH` là đường trung tuyến

`CD` là đường trung tuyến

`AH` cắt `CD` tại `G`

`-> G` là trọng tâm của `ΔABC`

mà `BE` là đường trung tuyến của `ΔABC`

`-> BE` đi qua trọng tâm `G`

`-> B,G,E` thẳng hàng

$\\$

$\\$

`d,`

Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔABH` có :

`AB + BH > AH` `(1)`

Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔACH` có :

`AC + CH > AH` `(2)`

Đem `(1) + (2)` vế với vế ta được :

`-> AB + BH + CH + AC > AH + AH`

`-> AB + (BH + CH) + AC > 2AH`

`->AB + AC + BC > 2AH` `(3)`

Do `G` là trung tâm của `ΔABC`

`BE` là đường trung tuyến

`-> BG = 2/3 BE`

`-> 2BE = 3 BG`

Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔABE` có :

`AB + AE > BE` `(4)`

Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔBEC` có :

`BC + EC > BE` `(5)`

Đem `(4) + (5)` vế với vế ta được :

`-> AB + AE+ EC + BC > BE + BE`

`-> AB + (AE + EC) + BC > 2BE`

`-> AB + AC + BC > 2BE`

mà `2BE = 3BG` (chứng minh trên)

`-> AB + AC + BC > 3BG` `(6)`

Đem `(3) + (6)` vế với vế ta được :

`-> AB + AC + BC + AB + AC + BC > 2AH + 3BG`

`-> 2AB + 2AC + 2 BC > 2AH + 3BG`

`-> 2 (AB + AC + BC) > 2AH + 3BG`

`-> AB + AC + BC > AH + 3BG`

mà `P_{ΔABC} = AB + AC + BC`

`-> P_{ΔABC} > AH + 2BG`

Đáp án:

 Cho xin trả lời hay nhất. Đáp án trong hình

Giải thích các bước giải: