Đáp án:

$y = (C_1+C_2x)e^{-3x} + x^2 + x + 3$

Giải thích các bước giải:

$\quad y'' + 6y' + 9y = 9x^2 + 21x + 35\quad (*)$

Phương trình đặc trưng:

$\quad k^2 + 6k + 9 = 0\Leftrightarrow k = -3$

$\Rightarrow$ Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng có dạng:

$\quad y = (C_1+C_2x)e^{-3x}$

Ta có: $f(x)= e^{0x}(9x^2 + 21x + 35)$

Do $\gamma = 0$ không là nghiệm của phương trình đặc trưng

nên nghiệm riêng của phương trình có dạng:

$\quad y = e^{0x}(Ax^2 + Bx + C)$

$\Leftrightarrow y = Ax^2 + Bx + C$

$\Rightarrow y' = 2Ax + B$

$\Rightarrow y'' = 2A$

Thay vào $(*)$ ta được:

$\quad 2A + 6(2Ax + B) + 9(Ax^2 + Bx + C)= 9x^2 + 21x + 35$

$\Leftrightarrow 9Ax^2 + (12A + 9B)x + 2A + 6B + 9C = 9x^2 + 21x + 35$

Đồng nhất hai vế, ta được:

$\begin{cases}9A = 9\\12A + 9B = 21\\2A + 6B + 9C = 35\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}A = 1\\B = 1\\C = 3\end{cases}$

Do đó nghiệm riêng của $(*)$ có dạng:

$\quad y = x^2 + x + 3$

Vậy phương trình có nghiệm là:

$y = (C_1+C_2x)e^{-3x} + x^2 + x + 3$

Đáp án + Giải thích các bước giải:

y=(C1+C2x)e−3x+x2+x+3y=(C1+C2x)e−3x+x2+x+3

Giải thích các bước giải:

y′′+6y′+9y=9x2+21x+35(∗)y″+6y′+9y=9x2+21x+35(∗)

Phương trình đặc trưng:

k2+6k+9=0⇔k=−3k2+6k+9=0⇔k=−3

⇒⇒ Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng có dạng:

y=(C1+C2x)e−3xy=(C1+C2x)e−3x

Ta có: f(x)=e0x(9x2+21x+35)f(x)=e0x(9x2+21x+35)

Do λ=0λ=0 không là nghiệm của phương trình đặc trưng

nên nghiệm riêng của phương trình có dạng:

y=e0x(Ax2+Bx+C)y=e0x(Ax2+Bx+C)

⇔y=Ax2+Bx+C⇔y=Ax2+Bx+C

⇒y′=2Ax+B⇒y′=2Ax+B

⇒y′′=2A⇒y″=2A

Thay vào (∗)(∗) ta được:

2A+6(2Ax+B)+9(Ax2+Bx+C)=9x2+21x+352A+6(2Ax+B)+9(Ax2+Bx+C)=9x2+21x+35

⇔9Ax2+(12A+9B)x+2A+6B+9C=9x2+21x+35⇔9Ax2+(12A+9B)x+2A+6B+9C=9x2+21x+35

Đồng nhất hai vế, ta được:

⎧⎨⎩9A=912A+9B=212A+6B+9C=35⇔⎧⎨⎩A=1B=1C=3{9A=912A+9B=212A+6B+9C=35⇔{A=1B=1C=3

Do đó nghiệm riêng của (∗)(∗) có dạng:

y=x2+x+3y=x2+x+3

Vậy phương trình có nghiệm là:

y=(C1+C2x)e−3x+x2+x+3