Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 $S_{AB}=1,25km$

 $S_{AC}=500m=0,5km$

$a,$ Gọi vận tốc của người đó khi nước đứng yên và vận tốc của nước lần lượt là $v_{1};v_{2}(km/h)$

Quãng đường người đó phải bơi ngược dòng cho đến $C$ là : $S_{BC}=S_{AB}-S_{AC}=1,25-0,5=0,75(km)$

Vì thời gian người đó bơi xuôi dòng từ $A$ đến $B$ rồi bơi ngược dòng từ $B$ quay lại $C$ bằng thời gian quả bóng trôi từ $A$ đến $C$ nên :

$t_{1}=t_{2}$

`S_{AB}/(v_{1}+v_{2})+S_{BC}/(v_{1}-v_{2})=S_{AC}/v_{2}`

`(1,25)/(v_{1}+v_{2})+(0,75)/(v_{1}-v_{2})=(0,5)/v_{2}`

`(1,25(v_{1}-v_{2})+0,75(v_{1}+v_{2}))/((v_{1}+v_{2})(v_{1}-v_{2}))=(0,5)/v_{2}`

`(2v_{1}-0,5v_{2})/((v_{1}+v_{2})(v_{1}-v_{2}))=(0,5)/v_{2}`

`(2v_{1}-0,5v_{2})v_{2}=0,5(v_{1}+v_{2})(v_{1}-v_{2})`

`2v_{1}v_{2}=0,5v_{1}^2`

`2v_{2}=0,5v_{1}`

`v_{1}=4v_{2}`

Lại có : sau 20 phút tính từ lúc xuất phát thì gặp quả bóng tại C

⇒ `S_{AC}/v_{2}=(0,5)/v_{2}=1/3h`

⇒ `v_{2}=1,5` $km/h$

⇒ `v_{1}=4v_{2}=4.1,5=6` $km/h$

Vận tốc của vận động viên đối với bờ khi bơi xuôi dòng là :

⇒ `v_{1'}=v_{1}+v_{2}=6+1,5=7,5` $km/h$

Vận tốc của vận động viên đối với bờ khi bơi ngược dòng là :

⇒ `v_{1''}=v_{1}-v_{2}=6-1,5=4,5` $km/h$

$b,$ 

Thời gian vận động viên bơi bằng thời gian bóng trôi từ $A$ đến $B$ : 

`t'=S_{AB}/v_{2}=(1,25)/(1,5)=5/6≈0,83h`

Thời gian người đó bơi xuôi dòng từ $A$ đến $B$ là : `t_{x'}=S_{AB}/(v_{1}+v_{2})=(1,25)/(7,5)=1/6h`

Thời gian người đó bơi ngược dòng từ $B$ về $A$ là : `t_{n'}=S_{AB}/(v_{1}-v_{2})=(1,25)/(4,5)=5/18h`

Số lần người đó bơi xuôi lớn hơn số lần bơi ngược 1 lần

Gọi số lần người đó bơi ngược là $a(a∈N^{*})$

Ta có :

`(a+1).t_{x'}+a.t_{n'}=5/6`

`(a+1).1/6+a.5/18=5/6`

`1/6a+1/6+5/18a=5/6`

`4/9a=2/3`

⇒ `a=1,5` ( loại vì không thuộc `N^*)`

Vậy giả sử là sai