Hứa rồi nha:3

Gọi F là giao của AM với đường tròn

có $\widehat {BNE}$= $\widehat {ENC}$(do cùng chắn 2 cung bằng nhau BE và EC)

Từ E kẻ EH⊥BN ,EH'⊥CN

Xét ΔEHN và ΔEH'N,

 $\widehat {H}$=$\widehat {H'}$=90

cạnh huyền EN chung

 $\widehat {HNE}$=$\widehat {H'NE}$(cmt)

=>ΔEHN = ΔEH'N(cạnh huyền -góc nhọn)

=>HN=H'N (2 cạnh tương ứng)(1) và EH=EH'(2 cạnh tương ứng )

dễ dàng chứng minh được ΔHEM=ΔH'EF(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

=>HM=H'F (2 cạnh tương ứng)(2)

lấy  (1) trừ (2)=>MN=NF =>ΔMNF cân tại N có NE là đường phân giác

=> NE cũng là đường cao=>NE⊥AM

Có$\widehat {ABN}$=$\widehat {AFN}$ do cùng chắn cung AN

và $\widehat {AMB}$=$\widehat {NMF}$(đối đỉnh)

mà $\widehat {AFN}$=$\widehat {NMF}$(do tam giác NMF cân tại N)

từ 3 điều trên=>$\widehat {AMB}$=$\widehat {ABN}$=> ΔABM cân tại A

mà $\widehat {CAE}$=$\widehat {BAE}$(chắn 2 cung bằng nhau là BE và EC)=>AE là đường phân giác của ΔBAC mà ΔBAC cân tại A=> AE là đường cao=>AE⊥BM tại I

Xét tứ giác IMKE có $\widehat {MIE}$+$\widehat {MKE}$=90+90=180 mà 2 góc này ở vị trí đối diện

=>tứ giác IMKE nội tiếp