a) Giả sử $\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ là nghiệm của phương trình 

Nếu $x_0;y_0;z_0$ đều lẻ thì $\left\{ \begin{array}{l} x_0^2 + y_0^2 + z_0^2\not{ \vdots }2\\ 2{x_0}{y_0}{z_0} \vdots 2 \end{array} \right.(VL)$

Nếu $x_0;y_0;z_0$ có hai số lẻ thì giả sử $x_0;y_0$ là hai số lẻ, $z_0$ là số chẵn, tương tự với trường hợp còn lại ta được

$\begin{array}{l} x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = {\left( {2a + 1} \right)^2} + {\left( {2b + 1} \right)^2} + {\left( {2c} \right)^2}\\  = 4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 4\left( {a + b} \right) + 2\not{ \vdots }4\\ 2{x_0}{y_0}{z_0}{ \vdots }4 \end{array}$ (vô lý)

Vậy $x_0;y_0;z_0$ chẵn. Đặt $x_0=2x_1;y_0=2y_1;z_0=2z_1$. Ta được

$x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 = 4{x_1}{y_1}{z_1}$. Lý luận tương tự ta được $x_1;y_1;z_1$ là các số chẵn và $\left( {\dfrac{{{x_0}}}{{{2^k}}};\dfrac{{{y_0}}}{{{2^k}}};\dfrac{{{z_0}}}{{{2^k}}}} \right)$ là các nghiệm nguyên với mọi $k \in \mathbb{N}$

Điều đó chỉ đúng với $x=y=z=0$. Vậy $xyz \vdots 24$

b)

$\begin{array}{l} {\left( {a + b + c} \right)^2} - 2a + 2b\\  = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac - 2a + 2bc + 2b\\  = {a^2} + {b^2}+2ab + {c^2} + 2a\left( {c - 1} \right) + 2b\left( {c + 1} \right) \end{array}$

$\begin{array}{l} {\left( {a + b + c \pm 1} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2a(c \pm 1) + 2b\left( {c \pm 1} \right) \pm 2c + 1\\  \Rightarrow {\left( {a + b + c - 1} \right)^2} < {\left( {a + b + c} \right)^2} - 2a + 2b < {\left( {x + y + z + 1} \right)^2}\\  \Rightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} - 2a + 2b = {\left( {a + b + c} \right)^2}\\ \end{array}$

Vậy $(a;b;c)=(m;m,n)$ với m,n là các số nguyên dương tùy ý