Gọi giao điểm của AD và FE là K

Gọi M',G, I làn lượt là trung điểm của FE, AH và BC

Dễ dàng c/m đc 5 điểm I,E,G,F,D cùng nằm trên đg tròn

Gọi T là giao điểm của BK với (I) 

Xét tam giác GEK và tam giácGDE

 góc DGE chung

góc GEK=góc GDE (cùng = góc FDG)

=>tam giác GEK ~ tam giác GDE (g-g)

=> tỉ số =>GE^2=GD . GK    (1)

Xét tam giác GTE và tam giác GEC

góc EGC chung

góc GET=góc ECT (cùng chắn cung TE )

=> tam giác GTE~tam giác GEC (g-g)

=> tỉ số => GE^2= GT.GC  (2)

Từ 1 và 2 => GT.GC = GD.GK

=> GT/GD = GK/GC

Xét tam giác GKT và tam giác GCD

góc DGC chung

GT/GD = GK/GC

=> tam giác GKT~ tam giác GCD (c-g-c)

=> góc GTK = góc GDC=90

Xét (O) có góc BTC=90 (góc nội tiếp chắn nửa đg tròn)

=> 3 điểm G,T ,C thẳng hàng

=> BK vuông góc với GC tại T

xét tam giác BGC có BK và GD là 2 đg cao cắt nhau tại K

=> K là trực tâm tam giác BGC =>CK là đg cao thứ 3

=> CK vuông góc với BG

=> góc ACK=góc HBG (tự c/m đồng dạng {g-g} )

ta có góc AEF = góc ABC = góc AIC (nội tiếp, cùng chắn cung AC)

=> Tứ giác KECI nội tiếp (góc ngoài = góc đối trong)

=> góc ACK= góc KIE =góc ABK 

=>góc HBG = góc góc ABK 

=> góc ABM' = góc ABK 

=> 3 điểm B . M' , K thẳng hàng

mà B, M ,K cũng thẳng hàng và M cũng là giao điểm của BK và FE

=> M trùng M'

=> M cũng là trung điểm của FE

Gọi K là giao điểm của EF và AH, I và G lần lượt là trung điểm của EF và AH.

Ta thấy (DKHA)(DKHA) = −1−1. G là trung điểm của HA ⇒ DK.DG=DH.DA=DB.DCDK.DG=DH.DA=DB.DC

⇒ K là trực tâm của ΔΔBGC ⇒ CK vuông góc BG.

Vì CK vuông góc BG. BH vuông góc AC nên ACK = HBG      (*)

Ta có AEF=ABC=AIC⇒ (I,K,E,C) ⇒ 

ACK=AIM=ABM     (**)

Lại có ΔBFE ~ ΔBHA, I và G lần lượt là trung điểm của FE và HA ⇒ 

HBG=FBI      (***)

Từ (*);(**);(***) ⇒ABM= FBI

=> thẳng hàng

=>I và M trùng  nhau

=> M là t. Điểm FE