Đáp án:

 a, Có CA⊥BD;A là trung điểm của BD

⇒CA là đường trung trực của BD

⇒CD=CB(T/c)

⇒ΔBCD cân tại C

⇒CA là đường cao, đường trung trực, đồng thời là đường phân giác của ΔBCD

⇒Vậy CA là tia phân giác của BCD (đpcm)

b,Xét ΔCIE và ΔCIF có

  IEC = IFC = $90^{0}$ 

  CI chung

  ECI = FCI (CI là pg của ECF)

⇒ΔCIE = ΔCIF (CH+GN)

⇒CE = CF (hai cạnh tương ứng)

→ΔCEF cân tại C

⇒CI là đường phân giác đồng thơi là đường cao của ΔCEF

⇒CI⊥EF hay CA ⊥EF

lại có:CA⊥BD(gt)

⇒EF//DB

c, ΔBIF vuông tại F⇒IF<IB

mà: IF=IE (do ΔCIE=ΔCIF)

⇒IE<IB

d, Giả sử: ΔBEF cân tại F

EF//DB ⇒ˆABE=ˆFEB (2 góc so le trong)

mà: ˆFBE=ˆFEB (do ΔBEF cân tại F)

⇒ˆABE=ˆFBE

⇒BElà tia phân giác của ˆDBC

Lại có: BE là đường cao của ΔBCD

⇒ΔBCD cân tại B

⇒BC=BD

mà: BC=CD(cmt)→BC=BD=CD

⇒ΔBCD đều

⇒ˆABC=$60^{0}$ 

Vậy  ΔBEF cân tại F thì ˆABC=$60^{0}$