a. Xét `ΔAEO` và `ΔBFO` có:

`∠EAO = ∠FBO (= 90^o)`

AO = BO (gt)

`∠O` chung

`=> ΔBFO = ΔAEO (g.c.g)`

`=> BF = AE` (2 cạnh tương ứng)   (đpcm)

b. Ta có: `ΔBFO = ΔAEO` (cmt)

`=> ∠E_{1} = ∠F_{1}` (2 góc tương ứng)

FO = EO (2 cạnh tương ứng)

Mà AO = BO

`=> FO - AO = EO - BO`

`=> AF = BE`

Xét `ΔAFI` và `ΔBEI` có:

`∠FAI = ∠EBI (= 90^o)`

AF = BE (cmt)

`∠E_{1} = ∠F_{1}` (cmt)

`=> ΔAFI = ΔBEI (g.c.g)`   (đpcm)

c. Xét `ΔFIO` và `ΔEIO` có:

FI = EI (vì `ΔAFI = ΔBEI`)

EO = FO (cmt)

IO cạnh chung

`=> ΔFIO = ΔEIO (c.c.c)`

`=> ∠O_{1} = ∠O_{2}` (2 góc tương ứng)

`=>` Tia OI là tia phân giác của `∠AOB`   (đpcm)

d*. Ta có: Tia OI là tia phân giác của `∠AOB`

`=>` Tia OI cũng là tia phân giác của `∠EOF`  (1)

Lại có: EO = FO

`=> ΔEFO` cân tại O  (2)

Từ (1), (2)

`=>` Tia OI cũng là đường trung trực của EF   (đpcm)

a) xét `ΔOAE` và `ΔOBF` lần lượt vuông tại `hat{OAE}` và `hat{OBF}`

ta có:

`hat{O}` chung

`OA=OB` ( gt)

`=>ΔOAE=ΔOBF ( cạnh góc vuông-góc nhọn )

do đó `AE=BF`

b)

ta có `OA+AF=OF`

         `OB+BE=OE`

mà `OA=OB, OE=OF`

nên: `AE=BF`

xét `ΔAIF` và `ΔBIE` lượt vuông tại `hat{FAI}` và `hat{EBI}`

ta có: `AE=BF` ( cmt)

`hat{AIF}` = `hat{BIE}` ( đối đỉnh )

`=> ΔAIF=ΔBIE` ( cạnh góc vuông- góc nhọn )

c)

xét `ΔOAI` và `ΔOBI` lần lượt vuông tại `hat{OAI}` và `hat{OBI}` 

ta có: `OI` là cạnh chung 

`OA=OB` ( gt)

`=> ΔOAI=ΔOBI` ( cạnh huyền -cạnh góc vuông )

d)

kéo dài `OI` cắt `EF` tại `C`

ta có `hat{AOI}=hat{BOI}` ( `ΔOAI=ΔOBI`)

xét `ΔEOC` và `ΔFOC` có

`OF=OE` 

`hat{AOC}=hat{BOC}`

`OI` là cạnh chung

`=>ΔEOC=ΔFOC ` ( c-g-c )

do đó` EC=FC` `(1)`

ta có `hat{ECO}+hat{FCO}=180^o` (` E,C,F` thẳng hàng )

mà `hat{ECO}=hat{FCO} ( ΔEOI=ΔFOI) `

`=>hat{ECO}=hat{FCO}=90^o` `(2)`

từ `(1)` và `(2)` suy ra `OC` là đường trung trực của  `EF`

mà `E∈OI` nên `OI` cũng là đường trung trực của  `EF`