`\text{a)}`

Xét `\Delta AHB` vuông tại `H` và `\Delta AKC` vuông tại `K` có :

`AB =AC ( \text{gt} )`

`\hat{A}` _ góc chung

`-> \Delta AHB = \Delta AKC ( ch-gn )`

`-> AH = AK` ( `2` cạnh tương ứng )

`\text{b)}` 

` \Delta AHB = \Delta AKC ( cmt )`

`-> \hat{HAB} = \hat{KAC}` ( `2` góc tương ứng )

`-> AI` là tia phân giác của `\hat{A}`

Xét `\Delta AKH` có :

`AI` là tia phân giác của `\hat{A}`

`-> AI` là đường trung trực của `HK` ( Tính chất )

`\text{c)}`

 Xét `\Delta AIB` và `\Delta AIC` có :

`AB = AC`

`\hat{IAB} = \hat{IAC}`

`AI` _ cạnh chung

`-> \Delta AIB = \Delta AIC ( c . g . c)`

`-> IB = IC`

`-> \Delta IBC` cân tại `I`

`-> \hat{IBC} = \hat{ICB}` `(1)`

Ta có :

`CK ⊥ AB`

`Bx ⊥ AB`

`-> CK  \text{ // } Bx` hay `CK \text{ // } BE`

`-> \hat{ICB} = \hat{CBE}` ( `2` góc so le trong ) `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` 

`-> \hat{IBC} =\ hat{CBE}`

`-> BC` là tia phân giác của `\hat{HBE}`

`\text{d)}`

 Ta có :

`BC  < BE`

`-> HC < CE` ( Quan hệ đường xiên - hình chiếu )

Bài làm: 

a) ΔABC cân tại A ⇒ AB = AC (*) và ∡ABC = ∡ACB

Xét 2 tam giác vuông BCK và CBK có:

BC : cạnh chung

∡KBC = ∡HCB

⇒ ΔBCK = ΔCBK (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ BK = CH (hai cạnh tương ứng)              (**)

Trừ từng về tương ứng của (*) cho (**), ta có: AB - BK = AC - CH 

⇔ AK = AH (đpcm) ⇒ K thuộc đường trung trực của HK (1)

b) Xét 2 tam giác vuông AKI và AHI có: 

        AK = AH 

        ∡A1 = ∡A2 

⇒ΔAKI = ΔAHI (cạnh góc vuông - góc nhọn)

⇒ IK = IH (hai cạnh tương ứng)

⇒ I ∈ đường trung trực của HK (2)

Từ (1) và (2) ⇒ AI là trung trực của HK

d) Ta có: BC = CE

mà BC > CH ⇒ CH < CE