a, ΔBIC có đường cao nối từ đỉnh trùng với đường trung tuyến ⇒ΔBIC là Δ cân tại I ⇒ IB=IC

Xét ΔAIB và ΔEIC có:

AE=IE (giả thiết)

góc AIB= góc EIC (góc đối đỉnh)

IB=IC (cmt)

⇒ΔAIB = ΔEIC (c.g.c)

Xét ΔABC và ΔECB có:

góc BAC = góc CEB (ΔAIB = ΔEIC)

góc ACB = góc EBC (ΔBIC là Δ cân tại I)

⇒ góc ABC = góc ECB (tổng 3 góc =180 độ)

Xét ΔABC và ΔECB có:

góc ABC = góc ECB (cmt)

BC: cạnh chung

góc ACB = góc EBC (ΔBIC là Δ cân tại I)

⇒ΔABC = ΔECB (g.c.g)

c, góc ABC = góc ECB ⇒ ΔBKC cân tại K

Gọi H là trung điểm BC ⇒ KH là đường cao và là đường trung tuyến của ΔBKC⇒Kthuoocj đường trung trực ΔBKC

a) Gọi `ID` là đường trung trực từ `I` xuống cạnh `BC`.

Ta có tam giác `BIC` có `ID` vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến. Mặt khác `ID` là đường trung trực của đoạn `BC`

`=>Delta BIC` cân tại `I,=> IB=IC`

Xét `Delta BIA` và `Delta CIA` có:

`hat{BIA}=hat{CIA}` (đối đỉnh)

`IA=IE` (giả thiết

`IB=IC` (cmt)

`=>Delta BIA = Delta CIA (c.g.c)`

$\quad$

b) Ta có `Delta BIC` cân tại `I`

`=>hat{IBC}=hat{ICB}`

`Delta BIA=Delta CIA => hat{ABI}=hat{ICE}` (Hai góc tương ứng)

`=>hat{ABC}=hat{ECB}`

`=>AB=EC` (Hai cạnh tương ứng)

Xét `Delta ABC` và `Delta ECB` có:

`BC` cạnh chung

`AB=EC`  (cmt)

`hat{ABC}=hat{ECB}`  (cmt)

`=>Delta ABC=Delta ECB (c.g.c)`

$\quad$

c) Mặt khác ta cần chứng minh `D,I,K` thẳng hàng:

Do `I,D` đều thuộc trung trực của `BC`

Mà `K` là giao điểm của `AB` và `EC` và `D` cách đều `B` và `C`

`=> K in ` trung trực của đoạn `BC`