Đáp án:

`a,`

Do `G` là trọng tâm của `ΔABC`

`AD` là đường trung tuyến

`-> GD = 1/2 AG`

Do `I` là trung điểm của `AG`

`-> IG = 1/2 AG` 

mà `GD = 1/2AG` (chứng minh trên)

`-> IG = GF (= 1/2 AG)`

Do `G` là trọng tâm của `ΔABC`

`BE` là đường trung tuyến

`-> GE = 1/2 BG`

Do `K` là trung điểm của `BG`

`-> KG = 1/2 BG`

mà `GE = 1/2 BG` (chứng minh trên)

`-> KG = GE (=1/2 BG)`

Xét `ΔKGI` và `ΔEGD` có :

`hat{KGI} = hat{EGD}` (2 góc đối đỉnh)

`KG = GE` (chứng minh trên)

`IG = GD` (chứng minh trên)

`-> ΔKGI = ΔEGD` (cạnh - góc - cạnh)

`-> hat{GKI} = hat{GED}` (2 góc tương ứng)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong

$→ IK//DE$

Do `ΔKGI = ΔEGD` (chứng minh trên)

`-> IK = DE` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

$\\$

$b,$

Do `G` là trọng tâm của `ΔABC`

`AD` là đường trung tuyến

`-> AG = 2/3 AD`

`a)` Ta có : `E` là trung điểm của `AC`; $D$ là trung điểm của `BC`( tính chất của trung tuyến )
`=>DE` là đường trung bình của `\Delta ABC`
`=>`$DE//AB$ và `DE=1/2 AB` ( tính chất đường trung bình ) `(1)`
`I` là trung điểm của $AG$ ; `K` là đường trung điểm của $BG$ $(gt)$
`=>IK` là đường trung bình của `\Delta ABC`
`=>`$IK//AB$ và `IK=1/2 AB` ( tính chất đường trung bình ) $(2)$
Từ `(1)` và `(2)=>`$IK//DE;IK=DE$
`b)` Vì `AB` và `DE` là $2$ đường trung tuyến của `\Delta ABC` cắt nhau tại $G(gt)$
`=>AG=2/3 AD(đpcm)` ( tính chất $3$ đường trung tuyến `\Delta` )