Bài 4b)  hình b tự vẽ nhaaa

Xét ΔCAN và ΔCMP có :

CA=CM=r

$\widehat{CAN}$ = $\widehat{CMP}$ = $90^o$

AN=MP ( gt)

⇒ΔCAN = ΔCMP(cgc)

⇒CN=CP( 2 cạnh tương ứng)

Xét ΔCPN có: CN=CP (cmt)

⇒ΔCPN cân tại C (dhnb)

*Gọi I là trung điểm của NP

Xét ΔCPN cân tại C (cmt) có:

CI là đường trung tuyến của ΔCPN (I là trung điểm của NP)

⇒ CI là đường cao của ΔCPN ( tc Δ cân)

⇒ CI vuông góc NP tại I (cmt)

Xét tứ giác NACI có

$\widehat{NAC}$ + $\widehat{NIC}$ = $90^o$ + $90^o$ = $180^o$

mà 2 góc ∧NAC và ∧NIC đối nhau

⇒Tứ giác NACI nội tiếp (dhnb)

⇒$\widehat{NIA}$ + $\widehat{NCA}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn $\mathop{NA}\limits^{\displaystyle\frown}$ )

Xét tứ giác CIMP có

$\widehat{CIP}$ = $\widehat{CMP}$ = $90^o$

mà 2 góc có đỉnh I và P kề nhau cùng nhìn CP

⇒Tứ giác CIMP nội tiếp (dhnb)

⇒$\widehat{MIP}$ = $\widehat{MCP}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MP)

Có:ΔCAN= ΔCMP (cmt)

⇒$\widehat{NCA}$ = $\widehat{MCP}$ ( 2 góc tương ứng )

mà $\widehat{NIA}$ = $\widehat{NCA}$(cmt)

      $\widehat{MIP}$ = $\widehat{MCP}$ (cmt)

⇒$\widehat{NIA}$ = $\widehat{MIP}$

Có : $\widehat{NIA}$ + $\widehat{PIA}$= $180^o$( N,I,P thẳng hàng)

⇒$\widehat{MIP}$ + $\widehat{PIA}$= $180^o$

⇒$\widehat{AIM}$= $180^o$

⇒A,I,M thẳng hàng

Vậy AM đi qua trung điểm của NP (đpcm)

Bài 5:

P = 3 . ( a + b ) + ab

Có : a² + b² = 2

⇒ ( a + b )² - 2ab = 2

⇒ $\frac{1}{2}$ (a+b)² - 1 

Ta đặt x = a + b

Từ đó :  P = 3x+$\frac{1}{2}$ $x^{2}$  - 1

             P = $\frac{1}{2}$ $(x+3)^{2}$ - $\frac{11}{2}$

 Ta có:  ( a + b )² ≤ 2( a² + b² ) ⇒ x² ≤ 4 ⇒ -2 ≤ x ≤ 2

Từ đó:  x + 3 ≥ 1 ⇒ (x+3)² ≥ 1

⇒ P ≥ -5

Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b =  -1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P = -5 khi a = b =  -1