Giải thích các bước giải:

$a)ABCD$ là hình thang cân

$\Rightarrow \widehat{DAB}=\widehat{CBA}\\ \Leftrightarrow 180^o-\widehat{DAB}=180^o-\widehat{CBA}\\ \Leftrightarrow \widehat{A_1}=180^o-\widehat{B_1}$

$\Rightarrow \Delta IAB$ cân tại $I$

$b)\Delta IDC, \widehat{IDC}=\widehat{ICD}(ABCD$ là hình thang cân)

$\Rightarrow \Delta IDC$ cân tại $I$

$\Rightarrow ID=IC$

$\Delta IAB$ cân tại $I$

$\Rightarrow IA=IB$

Xét $\Delta IBD$ và $\Delta IAC$

$IB=IA$

$\widehat{I}$: chung

$ID=IC\\ \Rightarrow \Delta IBD = \Delta IAC$

$c)ABCD$ là hình thang cân

$\Rightarrow AD=BC,AC=BD$

Xét $\Delta ADC$ và $\Delta BCD$

$CD:$ chung

$AD=BC\\ AC=BD\\ \Rightarrow \Delta ADC = \Delta BCD\\ \Rightarrow \widehat{DAC}=\widehat{CBD}\\ \Delta IBD = \Delta IAC\\ \Rightarrow \widehat{D_1}=\widehat{C_1}$

Xét $\Delta KAD$ và $\Delta KBC$

$\widehat{DAC}=\widehat{CBD}\\ AD=BC\\ \widehat{D_1}=\widehat{C_1}$

$\Rightarrow \Delta KAD$ và $\Delta KBC$

$d)\Delta KAD$ và $\Delta KBC$

$\Rightarrow KD=KC$

Xét $\Delta IKD$ và $\Delta IKC$

$IK:$ chung

$ID=IC\\ KD=KC\\ \Rightarrow \Delta IKD = \Delta IKC\\ \Rightarrow \widehat{I_1}=\widehat{I_2}$

$\Rightarrow IK$ là phân giác $\widehat{CID}$

$\Delta IDC, IK$ là phân giác đồng thời là trung tuyến 

$\Rightarrow IK$ đi qua trung điểm $DC$

Chứng minh tương tự $IK$ đi qua trung điểm $AB$

$\Rightarrow IK$ là trục đối xứng hình thang $ABCD.$