Đáp án:

`a,`

Xét `ΔAEH` và `ΔFEB` có :

`BE = HE` (Do `E` là trung điểm của `BH`)

`EA = EF` (giả thiết)

`hat{AEH} = hat{FEB}` (2 góc đối đỉnh)

`-> ΔAEH = ΔFEB` (cạnh - góc - cạnh)

Do `ΔAEH = ΔFEB` (chứng minh trên)

`-> hat{AHE} = hat{FBE}` (2 góc tương ứng)

mà `hat{AHE} = 90^o`

`-> hat{FBE} = 90^o`

hay `FB⊥BC`

$\\$

$\\$

$b,$

Do `ΔAEH = ΔFEB` (chứng minh trên)

`-> AH = FB` (2 cạnh tương ứng)

Xét `ΔAHB` có :

`hat{AHB} = 90^o`

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

`AB` là cạnh lớn nhất

`-> AB > AH`

mà `FB = AH` (chứng minh trên)

`-> FB < AB`

$\\$

$\\$

`c,`

Do `ΔAEH = ΔFEB` (chứng minh trên)

`-> hat{HAE} = hat{EFB}` (2 góc tương ứng)

Xét `ΔABF` có :

`FB < AB` (chứng minh trên)

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

`hat{BAE} < hat{EFB}`

mà `hat{HAE} = hat{EFB}` (chứng minh trên)

`-> hat{BAE} < hat{HAE}`

$\\$

$\\$

$d,$

Có : `M` là trung điểm của `FC`

`-> AM` là đường trung tuyến của `ΔAFC`

Có : `EA = EF` (giả thiết)

`-> E` là trung điểm của `AF`

`-> CE` là đường trung tuyến của `ΔAFC`

Do `ΔABC` cân tại `A`

`AH` là đường cao

`-> AH` là đường trung tuyến

`-> H` là trung điểm của `BC`

`-> BH = CH`

Do `E` là trung điểm của `BH`

`-> EH = 1/2 BH`

mà `BH = CH` (chứng minh trên)

`-> EH = 1/2 CH`

`-> (EH)/(CH) = 1/2`

Xét `AFC` có :

`CE` là đường trung tuyến

`(EH)/(CH) = 1/2`

`-> H` là trọng tâm của `ΔAFC`

mà `AM` là đường trung tuyến của `ΔAFC`

`-> AM` đi qua trọng tâm `H` của `ΔAFC`

`-> A,H,M` thẳng hàng

`\text{a)}`

Xét `\Delta AEH` và ` \Delta FEB` có :

`BE = EH ( \text{gt} )`

`\hat{AEH} = \hat{FEB}`

`EF = AE ( \text{gt} )`

`-> \Delta AEH = \Delta FEB ( \text{ c . g . c} )`

 `-> \hat{AHE} = \hat{FBE}` ( `2` góc tương ứng )

Vì `\hat{AHE} = 90^o -> \hat{FBE} = 90^o -> FB ⊥ BC`        

`\text{b)}`

` \Delta AEH = \Delta FEB ( \text{ cmt} )`

`-> AH = FB ` ( `2` cạnh tương ứng )

Xét `\Delta AHB` có :

`AH < AB` ( Trong `\Delta` vuông : Cạnh huyền là lớn nhất )

`-> FB < AB`

`\text{c)}`

Vì `BF < AB`

`-> \hat{BFE} > \hat{BAE}` 

` \Delta AEH = \Delta FEB ( \text{ cmt} )`

`->  \hat{ HAE} = \hat{BFE}` ( `2` cạnh tương ứng )

`-> \hat{HAE} > \hat{BAE}` hay `\hat{BAE} < \hat{HAE}`

`\text{d)}`     

Ta có :

`M` là trung điểm `FC`

`-> AM` là đường trung tuyết xuất phát từ `A` của `\Delta AFC` 

`AE =EF`

`->  EC` là đường trung tuyến xuất phát từ `C` của `\Delta AFC` `(1)`

Vì `\Delta ABC` cân tại `A` có :

`AH` là đường cao xuất phát từ `A`

`-> AH` là đường trung tuyến xuất phát từ `A`

`-> H` là trung điểm của `BC -> HB = HC`

Vì `E` là trung điểm của `HB -> EH = {CH}/2`

`-> {EH}/{CH} = 1/2` `(2)`

Vì `AM ∩ EC = { H}` . Từ `(1)` ;  `(2)` 

`-> H` là trọng tâm của `\Delta AFC`   

`-> A ; H ; M` thẳng hàng .