Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 a) Xét đường tròn đường kính AB có ∠MAN nội tiếp chắn nửa đường tròn

  ⇒ ∠MAN = $90^{o}$ 

  mà A,M,P thẳng hàng , A,N,Q thẳng hàng 

  ⇒ ∠PAQ = $90^{o}$ ⇒ ΔAPQ vuông tại A (đpcm)

  Xét đường tròn đường kính AB có ∠AMB nội tiếp chắn nửa đường tròn

  ⇒ ∠AMB = $90^{o}$ ⇒ BM⊥AP

 Xét đường tròn đường kính AB có BP là tiếp tuyến tại B

  ⇒ AB⊥BP ⇒ ΔABP vuông tại B

 Xét ΔABP vuông tại B có BM⊥AP ⇒ AM.AP=AB² ( hệ thức lượng trong tam giác vuông )

 Chứng minh tương tự ta có: AB²=AN.AQ

 ⇒ AM.AP=AN.AQ (đpcm) 

b) Từ AM.AP = AN.AQ ⇒ $\frac{AM}{AN}$ = $\frac{AQ}{AP}$ 

  Xét ΔAMN và ΔAQP có : $\frac{AM}{AN}$ = $\frac{AQ}{AP}$ , chung ∠MAN

  ⇒ ΔAMN ~ ΔAQP (c.g.c) ⇒ ∠AMN = ∠AQP

 mà ∠AMN + ∠NMP = $180^{o}$  ( 2 góc kề bù ) 

⇒ ∠AQP + ∠NMP = $180^{o}$ ⇒ Tứ giác MNPQ nội tiếp (đpcm)

c) Vì ΔAPQ vuông tại A (chứng minh a ) , I là trung điểm PQ

  ⇒ IA=IP ⇒ ΔIAP cân tại I ⇒ ∠IAP = ∠IPA 

  mà ∠IPA + ∠IQA = $90^{o}$ ⇒ ∠IAP + ∠IQA = $90^{o}$

 mà ∠IQA = ∠AMN ( chứng minh b) ⇒ ∠AMN + ∠IAP = $90^{o}$

⇒ AI⊥MN ( đpcm )

*) ∠ là góc nhé bạn